高等几何

第一章 仿射变换 1

1.1 平行射影 1

1．两平面间的平行射影与仿射对应 1

2．仿射对应的不变性质与不变量 2

1.2 仿射变换的定义与性质 4

1．平面上的透视仿射变换和仿射变换 4

2．平面仿射几何基本定理 6

1.3 仿射变换的代数表示 8

1．仿射变换的公式 8

2．仿射变换的变积系数 9

1.4 仿射变换的特例 13

1．相似变换 13

2．运动变换 15

习题一 19

第二章 射影平面 23

2.1 中心射影与无穷远元素 23

1．中心射影 23

2．无穷远元素 24

3．拓广直线和拓广平面 25

4．中心射影法的应用 25

2.2 齐次坐标 27

1．齐次点坐标 27

2．线坐标 28

3．三数组的运算 30

4．射影平面的解析定义 31

2.3 笛沙格定理、对偶原理 34

1．对偶图形和对偶命题 34

2．笛沙格（Desargues）定理 36

3．平面对偶原理 39

2.4 射影坐标 40

1．平面上点的射影坐标 40

2．平面上直线的射影坐标 46

3．直线上点的射影坐标 49

4．平面上的射影坐标与直线上的射影坐标的关系 53

5．非齐次射影坐标 54

2.5 交比 55

1．交比的定义与性质 55

2．交比的计算 58

3．交比的初等几何解释 61

4．调和点组 62

习题二 68

第三章 射影变换 74

3.1 一维射影对应与透视对应 74

1．一维射影对应 74

2．透视对应 77

3．巴普斯（Pappus）定理 80

3.2 一维射影变换与对合 82

1．直线上的射影变换的固定点 82

2．直线上的对合 84

3.3 完全四点形与完全四线形的调和性质 87

3.4 二维射影对应 91

3.5 直射变换 95

1．直射变换的固定元素 95

2．直射变换与仿射变换的关系 97

3．透射变换 98

4．调和透射 101

习题三 102

第四章 变换群与几何学 107

4.1 变换群与相应的几何学 107

1．变换群的概念 107

2．平面上几个重要的变换群 109

3．克莱因（F·Klein）的变换群观点 111

4.2 欧氏、仿射、射影三种几何学的比较 113

1．射影几何学 113

2．仿射几何学 113

3．欧氏几何学 113

4．三种几何学的比较 114

习题四 116

第五章 二阶曲线的射影理论 119

5.1 对射变换和配极变换 119

1．对射变换 119

2．配极变换 120

3．配极的共轭元素 123

4．诱导对合 125

5．配极的分类 128

5.2 二阶曲线的射影定义 132

1．二阶曲线与二级曲线 132

2．斯丹纳（Steiner）定理 138

5.3 巴斯加定理与布列安香定理 144

1．巴斯加（Pascal）定理 144

2．布列安香（Brlanchon）定理 146

5.4 二阶曲线的射影分类 149

1．二阶曲线的奇异点 149

2．二阶曲线的射影分类 151

5.5 二阶曲线束 153

5.6 二阶曲线上的射影变换与对合 157

1．两个二阶曲线间的射影对应 157

2．二阶曲线上的射影变换 159

3．直线和二阶曲线间的透视对应 160

4．二阶曲线上的对合 163

习题五 166

第六章 二阶曲线的仿射理论和度量理论 172

6.1 二阶曲线的仿射理论 172

1．二阶曲线的中心 172

2．二阶曲线的直径和共轭直径 174

3．二阶曲线的渐近线 179

4．二阶曲线的仿射分类 181

6.2 二阶曲线的度量理论 185

1．圆点与迷向直线 185

2．拉格尔（Laguerre）定理 187

3．二阶曲线的主轴、焦点与准线 189

习题六 194

第七章 射影几何基础与非欧几何概要 196

7.1 公理法简介 196

1．公理法思想 196

2．公理体系的三个基本问题 199

7.2 实射影几何公理体系及其相容性 201

1．实射影几何公理体系 201

2．射影几何公理体系的相容性 204

7.3 射影度量、非欧几何的射影模型 207

1．射影度量 207

2．双曲运动群与椭圆运动群 210

3．罗氏几何的克莱因模型 211

4．椭圆几何的射影模型 213

习题七 215

习题答案与提示 216