微积分 下

5多元函数微分学 1

5.1多元函数的极限与连续性 1

5.1.1预备知识 1

5.1.2多元函数的极限 6

5.1.3多元函数的连续性 8

5.1.4有界闭域上多元连续函数的性质 9

习题5.1 10

5.2偏导数 11

5.2.1偏导数的定义 11

5.2.2偏导数的几何意义 14

5.2.3向量函数的偏导数 15

5.2.4高阶偏导数 15

习题5.2 17

5.3可微性与全微分 18

5.3.1可微与全微分的定义 18

5.3.2函数的连续性、可偏导性与可微性的关系 19

5.3.3可微的充分条件 21

5.3.4全微分的应用 22

习题5.3 23

5.4求偏导法则 24

5.4.1多元复合函数求偏导法则 24

5.4.2一阶全微分形式不变性 28

5.4.3取对数求偏导法则 29

5.4.4隐函数存在定理与隐函数求偏导法则 30

习题5.4 32

5.5方向导数和梯度 34

5.5.1方向导数 34

5.5.2梯度 36

习题5.5 38

5.6二元函数微分中值定理 39

5.6.1二元函数的拉格朗日中值定理 39

5.6.2二元函数的泰勒公式 40

习题5.6 41

5.7偏导数的应用 42

5.7.1偏导数在几何上的应用 42

5.7.2二元函数的极值 46

5.7.3条件极值 50

5.7.4函数的最值 53

5.7.5最小二乘法 54

习题5.7 56

6二重积分与三重积分 58

6.1二重积分 58

6.1.1曲顶柱体的体积与平面薄片的质量 58

6.1.2二重积分的定义与几何意义 59

6.1.3二重积分的性质 60

6.1.4含参变量的定积分 63

6.1.5二重积分的计算（累次积分法） 64

6.1.6改变累次积分的次序 68

6.1.7二重积分的计算（换元积分法） 69

习题6.1 76

6.2三重积分 78

6.2.1空间立体的质量 78

6.2.2三重积分的定义与性质 78

6.2.3三重积分的计算（累次积分法） 80

6.2.4改变累次积分的次序 85

6.2.5三重积分的计算（换元积分法） 86

习题6.2 91

6.3重积分的应用 92

6.3.1平面区域的面积 92

6.3.2立体的体积 94

6.3.3曲面的面积 96

6.3.4立体区域的质心 97

习题6.3 99

6.4反常重积分简介 99

6.4.1两类反常二重积分的定义 99

6.4.2两类反常二重积分的敛散性判别 100

习题6.4 101

7曲线积分与曲面积分 102

7.1曲线积分 102

7.1.1空间曲线的弧长 102

7.1.2对弧长的曲线积分 103

7.1.3对坐标的曲线积分 107

习题7.1 112

7.2格林公式 113

7.2.1格林公式 113

7.2.2平面的曲线积分与路径无关的条件 117

习题7.2 121

7.3曲面积分 122

7.3.1对面积的曲面积分 122

7.3.2双侧曲面 126

7.3.3对坐标的曲面积分 127

习题7.3 134

7.4高斯公式 135

7.4.1高斯公式 135

7.4.2曲面积分与曲面无关的条件 138

习题7.4 141

7.5斯托克斯公式 141

7.5.1斯托克斯公式 142

7.5.2空间的曲线积分与路径无关的条件 144

习题7.5 149

7.6场论初步 150

7.6.1哈密顿算子 150

7.6.2散度 152

7.6.3旋度 152

7.6.4无旋场与势函数 153

习题7.6 154

8数项级数与幂级数 156

8.1数项级数 156

8.1.1数项级数的基本概念 156

8.1.2收敛级数的性质 159

8.1.3正项级数敛散性判别 162

8.1.4任意项级数敛散性判别 169

习题8.1 176

8.2幂级数 178

8.2.1函数项级数简介 178

8.2.2幂级数的收敛域与收敛半径 179

8.2.3幂级数的性质 184

8.2.4幂级数的和函数（Ⅰ） 186

8.2.5初等函数的幂级数展开式 188

8.2.6幂级数的和函数（Ⅱ） 194

8.2.7幂级数的应用 195

习题8.2 198

8.3傅里叶级数 200

8.3.1傅氏系数与傅氏级数 200

8.3.2傅氏级数的和函数 202

8.3.3周期为2l的函数的傅氏级数 205

8.3.4正弦级数与余弦级数 206

习题8.3 208

习题答案与提示 209