工程数学 复变函数

引言 1

第1章 复数和复变函数及其极限 2

1.1复数及其运算 2

1.1.1复数的概念及其表示法 2

1.1.2△复数的代数运算 4

1.1.3扩充复平面与复球面 7

习题1.1 8

习题1.1答案 10

1.2复平面上曲线和区域 11

1.2.1△复平面上曲线方程的各种表示 11

1.2.2△连续曲线和简单曲线与光滑曲线 13

1.2.3平面点集与区域 13

习题1.2 16

习题1.2答案 17

1.3复变函数与整线性映射 18

1.3.1△复变函数的概念 18

1.3.2复映射——复变函数的几何意义 19

1.3.3整线性映射及其保圆性 21

习题1.3 22

习题1.3答案 23

1.4复变函数的极限和连续 24

1.4.1△复变函数的极限 24

1.4.2复变函数的连续性 25

习题1.4 28

习题1.4答案 28

第2章 解析函数 30

2.1复变函数的导数 30

2.1.1△导数的概念及其求导法则 30

2.1.2微分的定义及其可微的充要条件 32

习题2.1 35

习题2.1答案 36

2.2函数的解析性和指数函数 36

2.2.1函数解析的概念和充要条件 36

2.2.2解析函数的运算性质 38

2.2.3△指数函数exp（z）=ez 38

习题2.2 40

习题2.2答案 41

2.3初等解析函数 42

2.3.1对数函数 42

2.3.2幂函数 44

2.3.3三角函数和双曲函数 45

2.3.4△反三角函数和反双曲函数 47

习题2.3 50

习题2.3答案 51

第3章 复积分 53

3.1复积分的概念及其性质 53

3.1.1复变函数积分的概念 53

3.1.2复积分的存在性及其一般计算公式 54

3.1.3△复积分的简单性质 57

习题3.1 59

习题3.1答案 60

3.2积分与其路径的无关性 61

3.2.1复积分与其积分路径无关的条件 62

3.2.2解析函数的原函数和在积分计算中的应用 63

3.2.3△复闭路定理和闭路变形原理 65

习题3.2 67

习题3.2答案 68

3.3 Cauchy积分公式和高阶导数公式 69

3.3.1解析函数的Cauchy积分公式 69

3.3.2解析函数的高阶导数定理 71

3.3.3△解析函数的实部和虚部与调和函数 75

习题3.3 79

习题3.3答案 80

3.4平面调和场及其复势 81

3.4.1平面向量场的旋度和散度与平面调和场 81

3.4.2平面调和场的复势及其有关等式 85

3.4.3平面流速场和静电场的复势求法及其应用 86

习题3.4 90

习题3.4答案 90

第4章 复级数 91

4.1复数项级数和幂级数 91

4.1.1复数列的收敛性及其判别法 91

4.1.2复数项级数的收敛性及其判别法 92

4.1.3幂级数及其收敛半径 94

4.1.4幂级数的运算性质 99

习题4.1 101

习题4.1答案 103

4.2 Taylor级数 104

4.2.1有关逐项积分的两个引理 104

4.2.2 Taylor级数展开定理 106

4.2.3基本初等函数的Taylor级数展开式 107

4.2.4△典型例题及其说明 109

习题4.2 113

习题4.2答案 114

4.3 Laurent级数 115

4.3.1 Laurent级数展开定理 115

4.3.2 Laurent级数的性质 117

4.3.3△用Laurent级数展开式计算积分 119

习题4.3 124

习题4.3答案 125

第5章 留数及其应用 126

5.1函数的孤立奇点及其分类 126

5.1.1函数孤立奇点的概念和分类 126

5.1.2函数各类孤立奇点的充要条件 127

5.1.3用函数的零点判别极点的类型 129

5.1.4函数在无穷远点的性态 132

习题5.1 134

习题5.1答案 135

5.2留数和留数定理 136

5.2.1△留数的定义和计算 136

5.2.2留数定理 140

5.2.3函数在无穷远点处的留数 143

习题5.2 144

习题5.2答案 145

5.3留数在定积分计算中的应用 147

5.3.1△形如I1=∫a0f（cos2πθ/α，sin2πθ/α）dθ的积分 147

5.3.2形如I2=∫∞﹣∞f（x）dx的积分 149

5.3.3形如I3=∫+∞－∞f（x)iβxdx（β ＞ 0）的积分 151

习题5.3 154

习题5.3答案 155

5.4辐角原理及其应用 155

5.4.1对数留数 155

5.4.2辐角原理 157

5.4.3 Rouche′定理 158

习题5.4 161

习题5.4答案 161

第6章 保角映射 162

6.1保角映射的概念 162

6.1.1曲线的切线方向和两条曲线的夹角 162

6.1.2解析函数导数的几何意义 163

6.1.3保角映射的概念和定理 165

习题6.1 167

习题6.1答案 168

6.2分式线性映射及其性质 168

6.2.1在扩充复平面上的保圆性 169

6.2.2在扩充复平面保持交比的不变性 170

6.2.3对扩充复平面上圆周的保对称性 174

6.2.4对有向圆周和直线的保侧性 175

6.2.5三种特殊的分式线性映射 179

习题6.2 184

习题6.2答案 185

6.3几个初等函数所构成的映射 185

6.3.1对数映射w=lnz和指数映射w=ez 185

6.3.2幂映射w=zn及其逆映射（n=2，3，…） 187

6.3.3儒柯夫斯基（H.E.yЖуковскни）函数 195

习题6.3 198

习题6.3答案 199

6.4保角映射几个一般性定理及其应用 200

6.4.1保角映射的几个一般性定理 200

6.4.2 SchwarzChristoffel映射——多角形映射 202

6.4.3用保角映射解Laplace方程边值问题 211

习题6.4 214

习题6.4答案 215

参考文献 216