高等数学 下

第7章 向量代数与空间解析几何 1

7.1 向量及其线性运算 1

7.1.1 向量的概念 1

7.1.2 向量的线性运算 2

习题7.1 4

7.2 空间直角坐标系与向量的坐标 5

7.2.1 空间直角坐标系 5

7.2.2 向量的坐标 6

7.2.3 向量线性运算的坐标表示式 7

7.2.4 向量的模及方向余弦的坐标表示式 9

习题7.2 11

7.3 向量的数量积与向量积 12

7.3.1 向量的数量积 12

7.3.2 向量的向量积 14

习题7.3 18

7.4 空间平面及其方程 19

7.4.1 平面的点法式方程 19

7.4.2 平面的一般方程 20

7.4.3 两平面的夹角及两平面平行或垂直的条件 22

7.4.4 点到平面的距离公式 23

习题7.4 24

7.5 空间直线及其方程 25

7.5.1 空间直线的一般方程 25

7.5.2 空间直线的点向式、两点式及参数方程 25

7.5.3 两直线的夹角及两直线平行或垂直的条件 27

7.5.4 直线与平面的夹角及平行或垂直的条件 28

7.5.5 平面束方程 29

习题7.5 31

7.6 空间曲面及其方程 32

7.6.1 曲面与方程的概念 32

7.6.2 几种常见的曲面 32

7.6.3 二次曲面 35

习题7.6 37

7.7 空间曲线及其方程 38

7.7.1 空间曲线的一般方程 38

7.7.2 空间曲线的参数方程 39

7.7.3 空间曲线在坐标面上的投影 39

习题7.7 41

复习题（7） 42

第8章 多元函数微分法及其应用 45

8.1 多元函数的概念、极限和连续 45

8.1.1 邻域和区域的概念 45

8.1.2 多元函数的概念 46

8.1.3 二元函数的极限 47

8.1.4 二元函数的连续性 49

习题8.1 50

8.2 偏导数 51

8.2.1 偏导数的概念 51

8.2.2 偏导数的求法 53

8.2.3 二元函数偏导数的几何意义 55

8.2.4 高阶偏导数 56

8.2.5 偏导数在经济分析中的应用举例（经管类用） 57

习题8.2 57

8.3 全微分 59

8.3.1 全微分的概念 59

8.3.2 全微分存在的必要条件及充分条件 60

习题8.3 62

8.4 多元复合函数的导数 62

8.4.1 多元复合函数的求导法则 62

8.4.2 多元复合函数的高阶偏导数 68

习题8.4 70

8.5 隐函数的求导公式 71

8.5.1 由方程F（x,y）＝0所确定的隐函数y＝f（x）的求导公式 71

8.5.2 由方程F（x,y,z）＝0所确定的隐函数z＝f（x,y）的求导公式 72

8.5.3 由方程组确定的隐函数的求导法（理工类用） 73

习题8.5 74

8.6 多元函数的极值 75

8.6.1 多元函数的极值与最值 75

8.6.2 条件极值 拉格朗日乘数法 78

8.6.3 多元函数的极值在经济上的应用举例（经管类用） 80

习题8.6 81

8.7 方向导数与梯度（理工类用） 82

8.7.1 方向导数 82

8.7.2 梯度 84

习题8.7 86

8.8 多元函数微分法在几何上的应用（理工类用） 86

8.8.1 空间曲线的切线与法平面及其方程 86

8.8.2 空间曲面的切平面与法线及其方程 88

习题8.8 92

复习题（8） 93

第9章 重积分 96

9.1 二重积分的概念与性质 96

9.1.1 二重积分的概念 96

9.1.2 二重积分的性质 98

习题9.1 100

9.2 二重积分的计算法 101

9.2.1 在直角坐标系中二重积分的计算法 101

9.2.2 在极坐标系中二重积分的计算法 107

习题9.2 110

9.3 二重积分的应用 112

9.3.1 立体的体积 112

9.3.2 曲面的面积 114

9.3.3 平面薄片的质心 115

9.3.4 平面薄片的转动惯量（理工类用） 117

习题9.3 119

9.4 三重积分及其应用（理工类用） 119

9.4.1 三重积分的概念与性质 119

9.4.2 三重积分在直角坐标系中的计算法 121

9.4.3 三重积分在柱面坐标系中的计算法 124

9.4.4 三重积分的应用举例 127

习题9.4 131

复习题（9） 133

第10章 曲线积分与曲面积分（理工类用） 136

10.1 对弧长的曲线积分 136

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 136

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 138

习题10.1 142

10.2 对坐标的曲线积分 143

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 143

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 146

10.2.3 两类曲线积分之间的关系 151

习题10.2 152

10.3 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件 153

10.3.1 格林公式 153

10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 158

习题10.3 161

10.4 对面积的曲面积分 162

10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 162

10.4.2 对面积的曲面积分的计算法 164

习题10.4 168

10.5 对坐标的曲面积分 169

10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 169

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 172

10.5.3 两类曲面积分之间的关系 175

习题10.5 175

10.6 高斯公式 176

习题10.6 180

复习题（10） 180

第11章 常数项级数与幂级数 184

11.1 常数项级数的概念和性质 184

11.1.1 常数项级数及其收敛与发散的概念 184

11.1.2 级数收敛的必要条件 187

11.1.3 级数的基本性质 187

习题11.1 190

11.2 常数项级数的审敛法 191

11.2.1 正项级数的审敛法 191

11.2.2 任意项级数的审敛法 196

习题11.2 199

11.3 函数项级数的概念与幂级数 200

11.3.1 函数项级数的概念 200

11.3.2 幂级数及其收敛性 201

11.3.3 幂级数的运算 204

11.3.4 幂级数的和函数在银行存款问题中的应用实例（经管类用） 207

习题11.3 209

11.4 把函数展开成幂级数及其应用 210

11.4.1 泰勒公式 210

11.4.2 泰勒级数 212

11.4.3 把函数展开成幂级数 214

11.4.4 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 218

习题11.4 221

复习题（11） 222

第12章 傅里叶级数（理工类用） 226

12.1 周期为2π的函数的傅里叶级数 226

12.1.1 三角级数及三角函数系的正交性 226

12.1.2 周期为2π的函数的傅里叶级数及其收敛性 227

12.1.3 把周期为2π的函数展开为傅里叶级数 228

12.1.4 把定义在［—π，π］上的函数展开为傅里叶级数 231

习题12.1 233

12.2 正弦级数和余弦级数 234

12.2.1 正弦级数和余弦级数 234

12.2.2 把定义在［0，π］上的函数展开为正弦（或余弦）级数 236

习题12.2 239

12.3 周期为2l的函数的傅里叶级数 239

习题12.3 244

复习题（12） 245

第13章 差分方程简介（经管类用） 247

13.1 函数的差分及差分方程的一般概念 247

13.1.1 函数的差分 247

13.1.2 差分方程的一般概念 248

习题13.1 250

13.2 一阶常系数线性差分方程及应用举例 250

13.2.1 一阶常系数线性差分方程的概念及通解结构 250

13.2.2 一阶常系数线性齐次差分方程的通解的求法 251

13.2.3 一阶常系数线性非齐次差分方程的解法 252

13.2.4 一阶常系数线性差分方程在经济分析中的应用举例 256

习题13.2 258

复习题（13） 259