线性代数

第1章 行列式 1

1.1排列 1

1.2行列式 3

1.2.1二阶行列式 3

1.2.2三阶行列式 4

1.2.3 n阶行列式 6

1.2.4几种特殊的行列式 8

1.3行列式的性质 10

1.4行列式的展开定理 15

1.4.1余子式及代数余子式 15

1.4.2行列式的展开定理 15

1.4.3行列式的计算 17

1.5克莱姆法则 22

1.5.1非齐次与齐次方程组的概念 22

1.5.2克莱姆法则 23

1.6应用实例——行列式在解析几何中的应用 26

本章小结 27

总习题1 28

第2章 矩阵 33

2.1矩阵概述 33

2.1.1矩阵的概念 34

2.1.2几种特殊形式的矩阵 34

2.2矩阵的运算 36

2.2.1矩阵的加法 36

2.2.2数与矩阵相乘 37

2.2.3矩阵的乘法 38

2.2.4矩阵的转置 41

2.2.5方阵的行列式 42

2.2.6伴随矩阵 43

2.3逆矩阵 44

2.3.1逆矩阵的概念 44

2.3.2逆矩阵的性质 45

2.3.3逆矩阵的求法 46

2.3.4逆矩阵求解线性方程组 47

2.4矩阵的初等变换 49

2.4.1概述 49

2.4.2初等矩阵 51

2.4.3初等变换求逆矩阵 53

2.4.4用初等变换求解矩阵方程 54

2.5矩阵的秩 56

2.5.1行最简形矩阵 56

2.5.2矩阵的秩 57

2.6分块矩阵 59

2.6.1分块矩阵的概念 60

2.6.2分块矩阵的运算 60

2.7应用实例——矩阵密码法 65

本章小结 66

总习题2 69

第3章 向量的线性相关性 72

3.1 n维向量 72

3.1.1向量的概念 72

3.1.2向量的线性运算 73

3.1.3向量组与线性方程组 74

3.2向量组的线性关系 75

3.2.1线性组合与线性表示 75

3.2.2线性相关与线性无关 76

3.2.3线性相关性的几个结论 77

3.3向量组的秩与矩阵的秩 80

3.3.1向量组的极大无关组 80

3.3.2向量组的秩 82

3.3.3矩阵的秩 82

3.3.4向量组的秩和极大无关组的求法 83

3.4向量的空间 84

3.4.1向量空间的概念 85

3.4.2向量空间的基底与维数 86

3.4.3向量空间中向量的坐标 87

本章小结 89

总习题3 91

第4章 线性方程组 93

4.1线性方程组的消元法 93

4.1.1消元法 93

4.1.2消元法与矩阵初等变换的关系 95

4.2线性方程组解的判定 97

4.2.1非齐次线性方程组解的判定 98

4.2.2齐次线性方程组解的判定 100

4.3齐次线性方程组解的结构与求解 102

4.3.1齐次线性方程组解的结构 103

4.3.2齐次线性方程组的求解 105

4.4非齐次线性方程组解的结构 108

4.5应用实例 112

4.5.1交通流量 112

4.5.2化学方程式 113

本章小结 114

总习题4 115

第5章 特征值与特征向量 118

5.1方阵的特征值与特征向量 118

5.1.1特征值与特征向量的定义 118

5.1.2关于特征值和特征向量的若干结论 121

5.1.3关于求特征值和特征向量的一般方法 124

5.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件 127

5.2.1相似矩阵及其性质 128

5.2.2矩阵可对角化的条件 129

5.3向量的内积与正交矩阵 134

5.3.1向量的内积 134

5.3.2向量组的正交化方法 135

5.3.3正交矩阵 139

5.4实对称矩阵的相似标准形 140

5.5应用实例 150

5.5.1期望问题 150

5.5.2结构学——梁的弯曲 152

5.5.3伴性基因 153

本章小结 154

总习题5 156

第6章 二次型 159

6.1二次型及其标准形 159

6.1.1二次型的基本概念 159

6.1.2可逆变换 161

6.1.3二次型的标准形 162

6.2用配方法及初等变换法化二次型为标准形 166

6.2.1用配方法化二次型为标准形 166

6.2.2用初等变换法化二次型为标准形 168

6.2.3标准二次型化为规范二次型 169

6.3正定二次型和正定矩阵 171

6.3.1二次型的分类 171

6.3.2判别方法 171

本章小结 174

总习题6 174

附录Ⅰ相关的几个概念 177

附录Ⅱ数域 180

附录Ⅲ部分习题参考答案与提示 181

参考文献 202