复变函数与积分变换

第一部分 复变函数 3

第1章 复数及其几何属性 3

1.1 复数及其基本运算 3

1.1.1 复数的概念 3

1.1.2 复数的运算 4

1.1.3 共轭复数 5

练习题1.1 6

1.2 复数的几何表示 6

1.2.1 复平面 6

1.2.2 复球面 8

练习题1.2 10

1.3 复数的三角表示 10

1.3.1 复数的三角表示与指数表示 10

1.3.2 乘积与商的几何意义 11

1.3.3 复数的乘幂与方根 14

练习题1.3 17

1.4 复平面内的曲线与区域 17

1.4.1 平面曲线 17

1.4.2 平面区域 21

练习题1.4 25

综合练习题1 25

第2章 复变函数及其解析性 27

2.1 复变函数 27

2.1.1 复变函数的概念 27

2.1.2 初等函数 31

练习题2.1 37

2.2 复变函数的极限、连续与导数 38

2.2.1 复变函数的极限 38

2.2.2 复变函数的连续性 41

2.2.3 复变函数的导数 42

练习题2.2 45

2.3 解析函数 45

2.3.1 函数解析的概念 45

2.3.2 函数解析的充要条件 46

练习题2.3 51

2.4 调和函数 52

练习题2.4 55

综合练习题2 56

第3章 复变函数的积分 57

3.1 复变函数积分概念 57

3.1.1 复积分的定义 57

3.1.2 复积分的物理意义 60

3.1.3 复积分的性质 61

练习题3.1 63

3.2 柯西积分定理及其推广 63

3.2.1 柯西积分定理 63

3.2.2 复合闭路定理 65

练习题3.2 67

3.3 原函数与不定积分 68

3.3.1 积分与路径无关的条件 68

3.3.2 原函数与不定积分 70

3.3.3 平面向量场的复势 72

练习题3.3 73

3.4 柯西积分公式与高阶导数 73

3.4.1 柯西积分公式 73

3.4.2 高阶导数公式 75

练习题3.4 77

综合练习题3 78

第4章 级数 80

4.1 复数项级数 80

4.1.1 复数列及其极限 80

4.1.2 级数概念及其收敛性 82

练习题4.1 84

4.2 幂级数 84

4.2.1 幂级数概念 84

4.2.2 幂级数的收敛性 85

4.2.3 幂级数的运算及性质 90

练习题4.2 92

4.3 泰勒级数 92

4.3.1 泰勒展开定理 93

4.3.2 函数展开成幂级数 95

练习题4.3 98

4.4 洛朗级数 99

4.4.1 双边幂级数及其收敛性 99

4.4.2 函数的洛朗展开式 101

练习题4.4 106

综合练习题4 106

第5章 孤立奇点与留数 108

5.1 孤立奇点 108

5.1.1 孤立奇点的概念及其分类 108

5.1.2 函数的零点与极点的关系 112

5.1.3 函数在无穷远点的性态 115

练习题5.1 118

5.2 留数 119

5.2.1 留数概念与留数定理 119

5.2.2 极点处留数的计算规则 120

5.2.3 函数在无穷远点的留数 124

练习题5.2 127

5.3 留数在实积分计算中的应用 128

5.3.1 有理函数的积分 128

5.3.2 三角函数有理式的积分 129

5.3.3 有理函数与三角函数乘积的积分 131

练习题5.3 133

综合练习题5 134

第6章 共形映射 135

6.1 共形映射的基本概念 135

6.1.1 共形映射的定义 135

6.1.2 解析函数的导数的几何意义 138

6.1.3 共形映射的基本问题 140

练习题6.1 141

6.2 分式线性映射 142

6.2.1 分式线性映射的概念 142

6.2.2 分式线性映射的性质 145

6.2.3 唯一确定分式线性映射的条件 149

6.2.4 区域间分式线性映射的建立 151

练习题6.2 155

6.3 几个初等函数所构成的映射 156

6.3.1 幂函数w=zn（n≥2为整数） 156

6.3.2 指数函数w=ez 159

练习题6.3 161

6.4 共形映射的应用 161

6.4.1 黎曼存在定理 161

6.4.2 拉普拉斯方程的边值问题 163

练习题6.4 166

综合练习题6 166

第二部分 积分变换 171

第7章 傅里叶变换 171

7.1 傅里叶级数 171

7.1.1 傅里叶系数与傅里叶级数 171

7.1.2 傅里叶级数的收敛定理 174

7.1.3 周期函数的傅里叶级数 177

7.1.4 傅里叶级数的复指数形式 179

7.1.5 周期函数的离散频谱 181

练习题7.1 183

7.2 傅里叶积分与傅里叶变换 184

7.2.1 傅里叶积分 184

7.2.2 傅里叶变换与连续频谱 187

7.2.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换 192

7.2.4 傅里叶正弦变换与余弦变换 197

练习题7.2 200

7.3 傅里叶变换的性质 201

7.3.1 基本性质 201

7.3.2 傅里叶变换的导数与积分 206

7.3.3 卷积与卷积定理 209

练习题7.3 213

7.4 傅里叶变换的若干应用 214

7.4.1 香农采样定理与信号的重构 214

7.4.2 滤波与信号的分解 216

练习题7.4 219

综合练习题7 219

第8章 拉普拉斯变换 222

8.1 拉普拉斯变换的概念 222

8.1.1 拉普拉斯变换的定义 222

8.1.2 拉普拉斯变换的存在定理 225

8.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 226

8.1.4 δ-函数的拉普拉斯变换 227

练习题8.1 228

8.2 拉普拉斯逆变换 229

8.2.1 反演积分公式 229

8.2.2 利用留数计算反演积分 230

练习题8.2 232

8.3 拉普拉斯变换的性质 233

8.3.1 基本性质 233

8.3.2 微分与积分性质 238

8.3.3 拉普拉斯变换的卷积性质 245

练习题8.3 249

8.4 拉普拉斯变换的若干应用 251

8.4.1 电路分析 251

8.4.2 线性系统分析 255

练习题8.4 259

综合练习题8 260

部分习题参考答案 262

参考文献 278