高等数学 下

第八章向量代数与空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

一、空间直角坐标系的概念 1

二、空间两点间的距离 2

习题8-1 4

第二节 向量及其线性运算 4

一、向量的概念 4

二、向量的线性运算 5

三、向量的坐标分解式 9

四、向量的模和方向余弦 11

五、向量在轴上的投影 14

习题8-2 15

第三节 向量的数量积与向量积 16

一、向量的数量积 16

二、向量的向量积 19

习题8-3 23

第四节 曲面及其方程 24

一、曲面方程的概念 24

二、旋转曲面 26

三、柱面 28

习题8-4 29

第五节 空间曲线及其方程 30

一、空间曲线的一般方程 30

二、空间曲线的参数方程 32

三、空间曲线在坐标面上的投影 33

习题8-5 35

第六节 平面及其方程 36

一、平面的点法式方程 36

二、平面的一般方程 37

三、两平面的夹角 39

四、点到平面的距离 41

习题8-6 42

第七节 空间直线及其方程 43

一、空间直线的一般方程 43

二、空间直线的对称式方程与参数方程 43

三、两直线的夹角 45

四、直线与平面的夹角 46

五、平面束 47

习题8-7 49

第八节 二次曲面 50

一、椭球面 50

二、椭圆抛物面 52

三、单叶双曲面 52

四、双叶双曲面 53

五、双曲抛物面（马鞍面） 54

习题8-8 55

总复习题八 56

第九章 多元函数微分法及其应用 59

第一节 多元函数的基本概念 59

一、平面点集 59

二、n维空间（61）三、多元函数的概念 62

四、多元函数的极限 64

五、多元函数的连续性 66

六、闭区域上多元连续函数的性质（67）习题9-1 67

第二节 偏导数 68

一、偏导数的概念及其计算 68

二、高阶偏导数 72

习题9-2 73

第三节 全微分 75

一、全微分的概念 75

二、全微分在近似计算中的应用 78

习题9-3 79

第四节 多元复合函数的微分法 80

一、多元复合函数的求导法则 80

二、全微分形式不变性 84

习题9-4 84

第五节 隐函数的求导公式 85

一、一个方程的情形 85

二、方程组的情形 89

习题9-5 91

第六节 方向导数 梯度 92

一、方向导数 92

二、梯度 94

习题9-6 97

第七节 多元函数微分法在几何上的应用 98

一、空间曲线的切线与法平面 98

二、曲面的切平面与法线 101

习题9-7 104

第八节 多元函数的泰勒公式 104

习题9-8 106

第九节 多元函数的极值及其求法 107

一、多元函数的极值 107

二、多元函数的最大值与最小值 109

三、条件极值与拉格朗日乘数法 111

习题9-9 115

总复习题九 116

第十章 重积分 119

第一节 重积分的概念与性质 119

一、二重积分的概念 119

二、三重积分的概念 121

三、重积分的性质 123

习题10-1 124

第二节 二重积分的计算 126

一、在直角坐标系下计算二重积分 126

二、在极坐标系下计算二重积分 132

三、二重积分的换元法 136

习题10-2 139

第三节 三重积分的计算 141

一、利用直角坐标计算三重积分 141

二、利用柱面坐标计算三重积分 145

三、利用球面坐标计算三重积分 147

四、三重积分的换元法 149

习题10-3 151

第四节 重积分的应用 152

一、曲面的面积 153

二、质心 154

三、转动惯量 157

四、引力 158

习题10-4 160

总复习题十 161

第十一章 曲线积分与曲面积分 165

第一节 对弧长的曲线积分 165

一、对弧长的曲线积分的概念 165

二、对弧长的曲线积分的性质 166

三、对弧长的曲线积分的计算 167

四、对弧长的曲线积分的应用 170

习题11-1 171

第二节 对面积的曲面积分 173

一、对面积的曲面积分的概念 173

二、对面积的曲面积分的性质 174

三、对面积的曲面积分的计算 174

四、对面积的曲面积分的应用 177

习题11-2 179

第三节 对坐标的曲线积分 180

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 180

二、对坐标的曲线积分的计算 183

三、两类曲线积分之间的联系 186

习题11-3 188

第四节 格林公式及其应用 189

一、格林公式 190

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 193

三、全微分方程 197

习题11-4 198

第五节 对坐标的曲面积分 200

一、对坐标的曲面积分的概念 200

二、对坐标的曲面积分的性质 204

三、对坐标的曲面积分的计算 204

四、两类曲面积分之间的联系 207

习题11-5 210

第六节 高斯公式 通量与散度 211

一、高斯公式 211

二、通量与散度 214

习题11-6 216

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 217

一、斯托克斯公式 218

二、环流量与旋度 221

习题11-7 223

第八节 场论初步 224

一、区间上的向量函数 224

二、向量场 227

习题11-8 231

总复习题十一 231

第十二章 无穷级数 234

第一节 常数项级数的概念和性质 234

一、常数项级数的概念 234

二、收敛级数的基本性质 237

三、柯西审敛原理 240

习题12-1 240

第二节 常数项级数的审敛法 241

一、正项级数的审敛法 241

二、交错级数及其审敛法 248

三、绝对收敛与条件收敛 250

习题12-2 252

第三节 幂级数 254

一、函数项级数的概念 254

二、幂级数及其收敛性 255

三、幂级数的运算 259

习题12-3 261

第四节 函数展开成幂级数 262

一、泰勒级数 263

二、函数展开成幂级数 265

三、函数的幂级数展开式的应用 270

习题12-4 272

第五节 傅里叶级数 272

一、三角级数的概念 272

二、周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数 274

三、正弦级数和余弦级数 280

习题12-5 283

第六节 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 285

一、周期为2l的函数展开成傅里叶级数 285

二、傅里叶级数的复数形式 287

习题12-6 289

总复习题十二 290

附录V MATLAB简介（下） 293

习题参考答案 303