变分学讲义

第一讲 变分学与变分问题 1

1.1 前言 1

1.2 泛函 3

1.3 典型例子 3

1.4 进一步的例子 7

第二讲 Euler-Lagrange方程 13

2.1 函数极值必要条件之回顾 13

2.2 Euler-Lagrange方程的推导 14

2.3 边值条件 19

2.4 求解Euler-Lagrange方程的例子 21

第三讲 泛函极值的必要条件与充分条件 29

3.1 数极值的再回顾 29

3.2 二阶变分 30

3.3 Legendre-Hadamard条件 32

3.4 Jacobi场 34

3.5 共轭点 36

第四讲 强极小与极值场 43

4.1 强极小与弱极小 43

4.2 强极小值的必要条件与Weierstrass过度函数 44

4.3 极值场与强极小值 46

4.4 Mayer场，Hilbert不变积分 52

4.5 强极小值的充分条件 54

4.6 定理4.4的证明（N＞1的情形） 56

第五讲 Hamilton-Jacobi理论 61

5.1 程函与Carathéodory方程组 61

5.2 Legendre变换 62

5.3 Hamilton方程组 64

5.4 Hamilton-Jacobi方程 67

5.5 Jacobi定理 69

第六讲 含多重积分的变分问题 75

6.1 Euler-Lagrange方程的推导 76

6.2 边值条件 82

6.3 二阶变分 83

6.4 Jacobi场 86

第七讲 约束极值问题 91

7.1 等周问题 91

7.2 逐点约束 96

7.3 变分不等式 102

第八讲 守恒律与Noether定理 107

8.1 单参数微分同胚与Noether定理 107

8.2 能动张量与Noether定理 111

8.3 内极小 117

8.4 应用 119

第九讲 直接方法 125

9.1 Dirichlet原理与极小化方法 125

9.2 弱收敛与＊弱收敛 127

9.3 ＊弱列紧性 130

9.4 自反空间与Eberlein-Schmulyan定理＊ 135

第十讲 Sobolev空间 139

10.1 广义导数 139

10.2 空间W m，p（Ω） 140

10.3 泛函表示 143

10.4 光滑化算子 144

10.5 Sobolev空间的重要性质与嵌入定理 145

10.6 Euler-Lagrange方程 151

第十一讲 弱下半连续性 157

11.1 凸集与凸函数 157

11.2 凸性与弱下半连续性 159

11.3 一个存在性定理 162

11.4 拟凸性＊ 163

第十二讲 线性微分方程的边值问题与特征值问题 171

12.1 线性边值问题与正交投影 171

12.2 特征值问题 175

12.3 特征展开 179

12.4 特征值的极小极大刻画 183

第十三讲 存在性与正则性 187

13.1 正则性（n＝1） 188

13.2 正则性续（n＞1） 192

13.3 几个变分问题的求解 194

13.4 变分学的局限 201

第十四讲 对偶作用原理与Ekeland变分原理 203

14.1 凸函数的共轭函数 203

14.2 对偶作用原理 207

14.3 Ekeland变分原理 210

14.4 Fréchet导数与Palais-Smale条件 212

14.5 Nehari技巧 215

第十五讲 山路定理及其推广与应用 219

15.1 山路（Mountain Pass）定理 219

15.2 应用 227

第十六讲 周期解、异宿轨与同宿轨 235

16.1 问题 235

16.2 周期解 237

16.3 异宿轨 242

16.4 同宿轨 246

第十七讲 测地线与极小曲面 251

17.1 测地线 251

17.2 极小曲面 255

第十八讲 变分问题的数值方法 267

18.1 Ritz方法 267

18.2 有限元 269

18.3 Cea定理 274

18.4 最优化方法——共轭梯度法 276

第十九讲 最优控制问题 283

19.1 问题的提法 283

19.2 Pontryagin极大值原理 287

19.3 Bang-Bang原理 293

第二十讲 有界变差函数与图像恢复 295

20.1 一元有界变差函数的回顾 295

20.2 多元有界变差函数 299

20.3 松弛函数 305

20.4 图像恢复与Rudin-Osher-Fatemi模型 307

参考文献 311

索引 315