高等数学 上

第一章 函数、极限与连续性 1

第一节 函数 1

一、变量 1

二、函数的概念 2

三、函数的表示法 5

四、函数的几种特性 7

五、初等函数 9

第二节 极限 16

一、数列极限 16

二、函数的极限 20

三、极限的运算法则 23

四、两个重要极限 26

五、无穷小与无穷大 30

第三节 函数的连续性 34

一、函数在一点处的连续性 34

二、区间内的连续函数 36

三、函数的间断点 37

四、连续函数的运算和初等函数的连续性 39

五、闭区间上连续函数的性质 40

测试题（一） 43

测试题（一）答案 45

第二章 导数与微分 46

第一节 导数概念 46

一、两个引例 46

二、导数的定义 47

三、左导数与右导数 49

四、可导函数的连续性 51

五、曲线的切线方程和法线方程 53

第二节 求导法则 53

一、函数的和、差、积、商的求导法则 54

二、反函数的求导法则 56

三、复合函数的求导法则 57

四、导数公式和求导法则 59

第三节 隐函数求导法 61

一、隐函数求导法 61

二、对数求导法 63

第四节 高阶导数 64

第五节 微分 66

一、微分的定义 66

二、微分的几何意义 69

三、微分基本公式和微分运算法则 69

四、参数方程所确定的函数的求导法 71

测试题（二） 73

测试题（二）答案 75

第三章 微分中值定理与导数的应用 76

第一节 微分中值定理 76

一、罗尔定理 76

二、拉格朗日中值定理 77

三、柯西中值定理 79

四、微分中值定理的分析证明 80

第二节 洛必达法则 82

一、0/0型 82

二、∞/∞型 85

三、可化为0/0型或∞/∞型的未定式 86

第三节 函数的单调性 89

一、函数单调性的判定法 89

二、证明不等式 92

第四节 函数的极值与最值 93

一、函数的极值 93

二、函数的最值 97

第五节 曲线的凹凸性与拐点 99

一、曲线的凹凸性 99

二、曲线的拐点 101

第六节 函数作图 102

一、曲线的渐近线 102

二、函数作图 104

测试题（三） 107

测试题（三）答案 109

第四章 不定积分 110

第一节 原函数与不定积分 110

一、原函数 110

二、不定积分 112

三、不定积分基本公式 113

四、不定积分的线性性质 114

第二节 换元积分法 115

一、第一换元积分法（凑微分法） 116

二、第二换元积分法 122

第三节 分部积分法 127

测试题（四） 133

测试题（四）答案 135

第五章 定积分及其应用 136

第一节 定积分概念 136

一、定积分问题举例 136

二、定积分的定义 138

三、定积分的几何意义 140

第二节 定积分的性质 142

第三节 微积分基本定理 145

一、变上限积分及其导数公式 145

二、牛顿-莱布尼兹公式 147

第四节 定积分的换元法和分部积分法 151

一、定积分的换元法 151

二、定积分的分部积分法 154

第五节 广义积分 156

一、无穷区间上的广义积分 156

二、无界函数的广义积分 159

第六节 定积分的应用 161

一、平面图形的面积 163

二、旋转体的体积 167

三、平面曲线的弧长 169

四、定积分的物理应用举例 171

五、微积分的经济应用举例（供经管类选用） 173

测试题（五） 177

测试题（五）答案 179

附录 180

Ⅰ 常用公式汇编 180

Ⅱ 简单积分表 184