高等数学 上

第一单元 极限与连续 1

1.1 函数 1

一、集合 1

二、区间与邻域 3

三、函数概念 5

四、函数的几种简单性态 6

五、反函数 7

六、复合函数 7

七、初等函数 8

八、双曲函数及反双曲函数 11

习题1-1 13

1.2 极限概念 14

一、数列的极限 14

二、函数当x→∞时的极限 16

三、函数当x→x0时的极限 17

四、单侧极限 18

五、无穷小 18

六、无穷大 19

习题1-2 20

1.3 极限运算 21

一、极限运算法则 21

二、无穷小的比较 22

三、极限存在准则两个重要极限 23

习题1-3 25

1.4 函数的连续性 26

一、函数的连续性 26

二、函数的间断点 27

三、初等函数的连续性 28

四、闭区间上连续函数的性质 28

习题1-4 30

第一单元综合练习题 31

第一单元课堂讨论题 33

第一单元课内实验 34

第二单元 一元函数微分学 45

2.1 导数与微分概念 45

一、速度与切线问题 45

二、导数定义 46

三、导数的实际意义 48

四、可导性与连续性的关系 49

五、微分概念 49

习题2-1 51

2.2 导数与微分运算 53

一、四则求导法则 53

二、反函数求导法则 53

三、复合函数求导法则 54

四、初等函数的导数 55

五、微分运算 56

习题2-2 57

2.3 高阶导数与隐函数求导 59

一、高阶导数 59

二、隐函数的导数 60

三、由参数方程所确定的函数的导数 62

习题2-3 63

2.4 微分中值定理 64

一、中值定理 65

二、洛必达法则 68

三、泰勒公式 71

习题2-4 75

2.5 函数性态研究 77

一、函数的单调性 77

二、函数的极值 78

三、曲线的凹凸性与拐点 80

习题2-5 82

2.6 导数应用 84

一、最值 84

二、曲率 85

三、微分在近似计算中的应用 86

四、方程的近似解求法 86

五、微分法在化工生产过程中的应用 87

六、微分法在经济学问题中的应用 88

习题2-6 89

第二单元综合练习题 90

第二单元课堂讨论题 93

第二单元课内实验 93

第三单元 一元函数积分学 116

3.1 定积分的概念与性质 116

一、积分实例 116

二、定积分的概念 118

三、定积分的性质 119

习题3-1 120

3.2 不定积分概念及计算方法 122

一、原函数与不定积分 122

二、积分公式与积分性质 124

三、凑微分法 125

四、变量替换法 128

五、分部积分法 130

六、特殊函数的积分 133

习题3-2 137

3.3 微积分基本定理 141

一、积分上限函数 141

二、牛顿-莱布尼茨公式 141

三、定积分的积分方法 143

习题3-3 147

3.4 微元法与几何应用 150

一、定积分的微元法 150

二、平面图形的面积 150

三、立体体积 153

四、平面曲线的弧长 155

五、旋转体的侧面积 157

习题3-4 158

3.5 物理应用及反常积分 159

一、变力作功 159

二、水压力 160

三、引力 161

四、填料层高度的计算 162

五、无穷区间上的反常积分 162

六、无界函数的反常积分 163

习题3-5 164

第三单元综合练习题 166

第三单元课堂讨论题 168

第三单元课内实验 169

第四单元 向量代数与空间解析几何 190

4.1 向量代数 190

一、向量概念 190

二、向量的线性运算 190

三、空间直角坐标系 192

四、向量的坐标 193

五、向量在轴上的投影 194

六、数量积 195

七、向量积 196

八、混合积 197

习题4-1 197

4.2 曲面与空间曲线 198

一、曲面方程 198

二、空间曲线方程 200

习题4-2 202

4.3 平面与空间直线 203

一、平面方程 203

二、空间直线方程 205

三、直线与平面的位置关系 207

习题4-3 209

第四单元综合练习题 210

第四单元课堂讨论题 212

第四单元课内实验 213

附录Ⅰ 三角函数公式表 230

附录Ⅱ 几种常用的平面曲线 234

附录Ⅲ 常用积分公式 235

习题答案 246