高等数学典型题解答指南 第2版

第1章 函数与极限 1

1.1 内容概要 1

1.1.1 基本概念 1

1.1.2 基本理论 2

1.1.3 基本方法 4

1.2 典型例题分析、解答与评注 5

1.2.1 函数的概念 5

1.2.2 求极限的方法 6

1.2.3 根据函数的极限和连续性，确定函数中的待定系数 11

1.2.4 无穷小的比较 11

1.2.5 函数连续性判断 12

1.2.6 闭区间上连续函数性质的应用 12

1.3 本章小结 13

1.4 同步习题及解答 13

1.4.1 同步习题 13

1.4.2 同步习题解答 15

第2章 导数与微分 18

2.1 内容概要 18

2.1.1 基本概念 18

2.1.2 基本理论 18

2.1.3 基本方法 19

2.2 典型例题分析、解答与评注 20

2.2.1 函数导数的计算 20

2.2.2 利用导数定义求极限 34

2.2.3 讨论函数的可导性 35

2.2.4 通过函数的连续性和可导性，确定函数中的常数 36

2.2.5 导数的应用 36

2.2.6 函数的微分 37

2.3 本章小结 39

2.4 同步习题及解答 40

2.4.1 同步习题 40

2.4.2 同步习题解答 43

第3章 微分中值定理与导数的应用 53

3.1 内容概要 53

3.1.1 基本概念 53

3.1.2 基本理论 53

3.1.3 基本方法 55

3.2 典型例题分析、解答与评注 56

3.2.1 中值定理问题 56

3.2.2 按洛必达法则求极限 64

3.2.3 不等式的证明 71

3.2.4 函数的单调性 74

3.2.5 函数的极值和最值 76

3.2.6 函数的凹凸性和拐点 78

3.3 本章小结 80

3.4 同步习题及解答 80

3.4.1 同步习题 80

3.4.2 同步习题解答 82

第4章 不定积分 88

4.1 内容概要 88

4.1.1 基本概念 88

4.1.2 基本理论 88

4.1.3 基本方法 89

4.2 典型例题分析、解答与评注 89

4.2.1 与原函数有关的命题 89

4.2.2 求有理函数的不定积分 91

4.2.3 求含根式的不定积分 93

4.2.4 求三角有理式的不定积分 96

4.2.5 求含有反三角函数、对数函数或指数函数的不定积分 100

4.2.6 求抽象函数的不定积分 102

4.2.7 求分段函数的不定积分 105

4.2.8 求递推式的不定积分 105

4.3 本章小结 106

4.4 同步习题及解答 106

4.4.1 同步习题 106

4.4.2 同步习题解答 108

第5章 定积分 112

5.1 内容概要 112

5.1.1 基本概念 112

5.1.2 基本理论 113

5.1.3 基本方法 115

5.2 典型例题分析、解答与评注 116

5.2.1 与定积分的定义性质有关的问题 116

5.2.2 变限积分及其导数问题 118

5.2.3 定积分的计算 122

5.2.4 反常积分的计算 132

5.2.5 定积分的应用 133

5.3 本章小结 140

5.4 同步习题及解答 141

5.4.1 同步习题 141

5.4.2 同步习题解答 143

第6章 常微分方程 145

6.1 内容概要 145

6.1.1 基本概念 145

6.1.2 基本理论 145

6.1.3 基本方法 146

6.2 典型例题分析、解答与评注 148

6.2.1 一阶微分方程的解法 148

6.2.2 高阶微分方程的解法 153

6.2.3 求解含有变限积分的方程 160

6.2.4 微分方程的应用 162

6.3 本章小结 165

6.4 同步习题及解答 165

6.4.1 同步习题 165

6.4.2 同步习题解答 167

第7章 向量代数与空间解析几何 173

7.1 内容概要 173

7.1.1 基本概念 173

7.1.2 基本理论 174

7.1.3 基本方法 177

7.2 典型例题分析、解答与评注 177

7.2.1 求点的坐标 177

7.2.2 关于向量的运算 178

7.2.3 利用向量求解几何问题 181

7.2.4 关于空间曲面与空间曲线 183

7.2.5 求平面方程 189

7.2.6 求空间直线方程 191

7.2.7 点、直线、平面之间的关系 195

7.2.8 关于距离 196

7.2.9 关于夹角 198

7.3 本章小结 200

7.4 同步习题及解答 200

7.4.1 同步习题 200

7.4.2 同步习题解答 202

第8章 多元函数微分法及其应用 206

8.1 内容概要 206

8.1.1 基本概念 206

8.1.2 基本理论 207

8.1.3 基本方法 210

8.2 典型例题分析、解答与评注 211

8.2.1 求多元函数定义域 211

8.2.2 求多元函数关系 211

8.2.3 二元函数极限的求法 212

8.2.4 证明二元函数极限不存在 214

8.2.5 二元函数连续性的讨论 215

8.2.6 一般多元显函数偏导数的求法 216

8.2.7 多元复合函数的偏导数的求法 218

8.2.8 隐函数的偏导数的求法 219

8.2.9 全微分的求法 222

8.2.10 方向导数与梯度的求法 223

8.2.11 多元函数微分学的几何应用 225

8.2.12 多元函数极值与最值的求法 228

8.3 本章小结 232

8.4 同步习题及解答 236

8.4.1 同步习题 236

8.4.2 同步习题解答 237

第9章 重积分 240

9.1 内容概要 240

9.1.1 基本概念 240

9.1.2 基本理论 240

9.1.3 基本方法 243

9.2 典型例题分析、解答与评注 244

9.2.1 二重积分性质的应用 244

9.2.2 二重积分的计算 245

9.2.3 三重积分的计算 250

9.2.4 重积分的应用 257

9.3 本章小结 263

9.4 同步习题及解答 264

9.4.1 同步习题 264

9.4.2 同步习题解答 265

第10章 曲线积分与曲面积分 267

10.1 内容概要 267

10.1.1 基本概念 267

10.1.2 基本理论 268

10.1.3 基本方法 272

10.2 典型例题分析、解答与评注 272

10.2.1 对弧长的（第一类）曲线积分的计算 272

10.2.2 对坐标的（第二类）曲线积分的计算 276

10.2.3 对面积的（第一类）曲面积分的计算 284

10.2.4 对坐标的（第二类）曲面积分的计算 286

10.2.5 曲线积分与曲面积分的应用 291

10.3 本章小结 294

10.4 同步习题及解答 295

10.4.1 同步习题 295

10.4.2 同步习题解答 296

第11章 无穷级数 300

11.1 内容概要 300

11.1.1 基本概念 300

11.1.2 基本理论 301

11.1.3 基本方法 304

11.2 典型例题分析、解答与评注 305

11.2.1 级数敛散性的判别 305

11.2.2 求函数项级数的收敛域 313

11.2.3 求幂级数的收敛半径及收敛域 314

11.2.4 求幂级数的和函数 316

11.2.5 将函数展开成幂级数 318

11.2.6 将函数展开成傅里叶级数 320

11.3 本章小结 323

11.4 同步习题及解答 324

11.4.1 同步习题 324

11.4.2 同步习题解答 325

第12章 自测试题及解答 330

12.1 自测试题及解答（上） 330

12.1.1 自测试题（上） 330

12.1.2 自测试题解答（上） 337

12.2 自测试题及解答（下） 347

12.2.1 自测试题（下） 347

12.2.2 自测试题解答（下） 353

参考文献 358