高等数学 上

第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间与邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的特性 5

1.1.4 反函数与复合函数 6

1.1.5 初等函数 7

1.1.6 经济学中的常用函数 10

习题1.1 13

1.2 数列的极限 15

1.2.1 数列极限的概念 15

1.2.2 数列极限的性质 18

1.2.3 数列极限存在的准则 19

1.2.4 数列极限的四则运算法则 20

1.2.5 数列的子列概念 22

1.2.6 柯西收敛原理 23

习题1.2 24

1.3 函数的极限 25

1.3.1 自变量趋于有限数时函数的极限 25

1.3.2 自变量趋于无穷大时函数的极限 28

1.3.3 极限的运算法则 30

1.3.4 函数极限的性质 31

1.3.5 两个重要极限 33

1.3.6 连续复利 34

1.3.7 函数极限与数列极限的关系 35

习题1.3 36

1.4 无穷小量与无穷大量 37

1.4.1 无穷小量 37

1.4.2 无穷大量 41

1.4.3 无穷大量与无穷小量的关系 43

习题1.4 44

1.5 函数的连续性与间断点 45

1.5.1 连续函数的概念 46

1.5.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 48

1.5.3 闭区间上连续函数的性质 50

1.5.4 函数的间断点 53

习题1.5 55

总习题1 56

第2章 导数与微分 59

2.1 导数的概念 59

2.1.1 概念的导出 59

2.1.2 导数的定义 60

2.1.3 导数的几何意义 63

2.1.4 单侧导数 63

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 64

习题2.1 64

2.2 求导法则 65

2.2.1 导数的四则运算法则 65

2.2.2 反函数的求导法则 67

2.2.3 复合函数的求导法则 68

2.2.4 隐函数的求导法则 70

2.2.5 对数法求导 71

2.2.6 参数方程求导 73

习题2.2 74

2.3 高阶导数 76

2.3.1 高阶导数的概念 76

2.3.2 莱布尼茨高阶导数公式 77

2.3.3 参数方程的高阶导数 78

2.3.4 隐函数的高阶导数 78

习题2.3 79

2.4 微分 80

2.4.1 微分的概念 80

2.4.2 可微与可导的关系 81

2.4.3 微分的几何意义 82

2.4.4 微分的运算 82

2.4.5 复合函数的微分法则 83

2.4.6 微分在近似计算中的应用 84

习题2.4 85

2.5 导数在经济分析中的应用 86

2.5.1 边际的概念 86

2.5.2 经济学中常见的边际函数 86

2.5.3 弹性分析 88

2.5.4 经济学中常见的弹性函数 89

习题2.5 92

总习题2 93

第3章 中值定理与导数的应用 96

3.1 微分中值定理 96

3.1.1 罗尔定理 96

3.1.2 拉格朗日中值定理 98

3.1.3 柯西中值定理 101

习题3.1 102

3.2 洛必达法则 103

3.2.1 0/0型未定式（洛必达法则） 104

3.2.2 ∞／∞型未定式 106

3.2.3 其他类型的未定式 106

习题3.2 108

3.3 泰勒公式 108

3.3.1 问题的提出 108

3.3.2 泰勒中值定理 109

3.3.3 常见函数的麦克劳林公式 114

习题3.3 114

3.4 函数的单调性 115

习题3.4 118

3.5 函数的极值与最大值最小值 119

3.5.1 函数极值的求法 119

3.5.2 函数的最大值和最小值 122

习题3.5 124

3.6 函数的最值在经济分析中的应用 125

习题3.6 127

3.7 函数的凹凸性及拐点 128

3.7.1 函数凹凸性的概念 129

3.7.2 函数凹凸性的判定定理 129

习题3.7 131

3.8 函数图形的描绘 131

3.8.1 渐近线 131

3.8.2 函数图形的描绘 133

习题3.8 134

3.9 曲率 134

3.9.1 弧微分 134

3.9.2 曲率及其计算公式 136

3.9.3 曲率圆和曲率半径 139

习题3.9 140

总习题3 140

第4章 不定积分 144

4.1 不定积分的概念与性质 144

4.1.1 原函数与不定积分的概念 144

4.1.2 不定积分的几何意义 145

4.1.3 基本积分公式表 146

4.1.4 不定积分的性质 147

习题4.1 149

4.2 换元积分法 150

4.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 150

4.2.2 第二换元积分法 154

习题4.2 158

4.3 分部积分法 160

4.3.1 分部积分公式 160

4.3.2 分部积分法的常见类型 161

4.3.3 其他类型的分部积分 165

习题4.3 166

4.4 几种特殊类型函数的积分 166

4.4.1 有理函数的积分 167

4.4.2 三角函数有理式的积分 169

习题4.4 171

总习题4 172

第5章 定积分 174

5.1 定积分的概念 174

5.1.1 问题的提出 174

5.1.2 定积分的定义 175

5.1.3 定积分的几何意义 176

习题5.1 177

5.2 定积分的性质 177

习题5.2 181

5.3 定积分计算 182

5.3.1 变限积分与原函数的存在性 182

5.3.2 定积分的换元积分法 185

5.3.3 定积分的分部积分法 189

习题5.3 190

5.4 广义积分 193

5.4.1 无穷区间上的广义积分 193

5.4.2 无界函数的广义积分 195

习题5.4 198

总习题5 199

第6章 定积分的应用 201

6.1 定积分的微元法 201

6.2 定积分的几何应用 203

6.2.1 平面图形的面积 203

6.2.2 体积 207

6.2.3 平面曲线的弧长 211

习题6.2 213

6.3 定积分在经济上的应用 215

6.3.1 由边际量求总量 215

6.3.2 投资问题 216

习题6.3 217

6.4 定积分在物理学中的应用 218

6.4.1 变力沿直线运动所做的功 218

6.4.2 液体的压力 220

6.4.3 引力 221

习题6.4 223

总习题6 224

部分习题参考答案 227

参考文献 249