高等数学学习辅导与提高 上

第1章 函数与极限 1

1.1 函数的极限 1

1.1.1 内容提要 1

1.1.1.1 函数 1

1.1.1.2 函数的极限 1

1.1.2 疑惑解析 2

1.1.3 补充例题 5

1.1.3.1 函数符号的应用 5

1.1.3.2 复合函数的分解 6

1.1.3.3 函数的几种特性及反函数 6

1.1.3.4 未定式的极限 8

1.1.3.5 不符合极限运算法则的数列或函数极限 10

1.1.3.6 杂题 12

1.1.4 习题提示或解答 13

习题1-2 13

习题1-3 14

习题1-4 15

习题1-5 15

习题1-6 17

习题1-7 18

1.1.5 补充习题 19

1.1.6 补充习题提示或解答 20

1.1.7 自测题 22

1.2 函数的连续性 23

1.2.1 内容提要 23

1.2.1.1 函数连续的定义 23

1.2.1.2 函数f（x）在一点x0连续的充要条件 23

1.2.1.3 函数的间断点及其判别方法 23

1.2.1.4 闭区间上连续函数的性质及其应用 24

1.2.2 疑惑解析 24

1.2.3 补充例题 26

1.2.3.1 函数在一点处的连续性证明与判别法 26

1.2.3.2 利用函数的连续性求极限及其定参数的方法 27

1.2.3.3 判别函数间断点的方法 27

1.2.3.4 闭区间上连续函数性质的应用 28

1.2.4 习题提示或解答 29

习题1-8 29

习题1-9 30

习题1-10 31

1.2.5 补充习题 31

1.2.6 补充习题提示或解答 32

1.2.7 自测题 33

第2章 导数与微分 35

2.1 导数的概念 35

2.1.1 内容提要 35

2.1.1.1 导数的定义 35

2.1.1.2 用定义求导数的情形 35

2.1.1.3 导数的几何应用 35

2.1.2 疑惑解析 35

2.1.3 补充例题 37

2.1.3.1 利用导数的定义求导数的方法 37

2.1.3.2 利用导数的定义求极限的方法 39

2.1.3.3 导数的几何意义的应用 40

2.1.4 习题提示或解答 41

习题2-1 41

2.1.5 补充习题 42

2.1.6 补充习题提示或解答 43

2.1.7 自测题 44

2.2 导数的计算 46

2.2.1 内容提要 46

2.2.1.1 利用求导公式及求导法则求导 46

2.2.1.2 由参数方程所确定的函数求导法 47

2.2.1.3 隐函数求导法 47

2.2.1.4 分段函数及含绝对值的函数的求导法 47

2.2.1.5 对数求导法 47

2.2.1.6 n阶导数的求法 47

2.2.1.7 函数的微分 48

2.2.2 疑惑解析 48

2.2.3 补充例题 49

2.2.3.1 利用求导法则求导 49

2.2.3.2 求由参数方程所确定的函数的导数 50

2.2.3.3 求隐函数的导数 51

2.2.3.4 求分段函数及含绝对值的函数的导数 51

2.2.3.5 对数求导法 53

2.2.3.6 求函数的n阶导数 53

2.2.4 习题提示或解答 54

习题2-2 54

习题2-3 55

习题2-4 55

习题2-5 57

2.2.5 补充习题 58

2.2.6 补充习题提示或解答 59

2.2.7 自测题 62

第3章 中值定理与导数的应用 63

3.1 中值定理 63

3.1.1 内容提要 63

3.1.2 疑惑解析 63

3.1.3 补充例题 64

3.1.3.1 验证中值定理对某函数在指定区间上的正确性 64

3.1.3.2 导函数的零点 64

3.1.3.3 含中间值的等式的证明方法 65

3.1.3.4 含多个中间值的关系式的证明方法 68

3.1.3.5 用中值定理证明不等式的方法 68

3.1.4 习题提示或解答 69

习题3-1 69

3.1.5 补充习题 70

3.1.6 补充习题提示或解答 71

3.1.7 自测题 72

3.2 洛必达法则与泰勒公式 73

3.2.1 内容提要 73

3.2.1.1 洛必达法则（L'Hospital法则） 73

3.2.1.2 泰勒公式 74

3.2.1.3 麦克劳林公式 74

3.2.2 疑惑解析 75

3.2.3 补充例题 76

3.2.3.1 利用洛必达法则求极限 76

3.2.3.2 利用泰勒公式求极限 81

3.2.3.3 泰勒公式在证明题中的应用 82

3.2.4 习题提示或解答 83

习题3-2 83

习题3-3 84

3.2.5 补充习题 85

3.2.6 补充习题提示或解答 86

3.2.7 自测题 89

3.3 导数的应用 90

3.3.1 内容提要 90

3.3.1.1 函数的单调性与极值 90

3.3.1.2 函数的凹凸性与拐点 90

3.3.1.3 最值的求法 90

3.3.2 疑惑解析 91

3.3.3 补充例题 92

3.3.3.1 利用导数研究函数的性质 92

3.3.3.2 利用导数研究函数的最值 94

3.3.3.3 方程实根的存在性和个数 94

3.3.3.4 证明不等式 96

3.3.4 习题提示或解答 98

习题3-4 98

习题3-5 99

习题3-6 100

习题3-7 100

习题3-8 101

3.3.5 补充习题 101

3.3.6 补充习题提示或解答 102

3.3.7 自测题 105

第4章 不定积分 107

4.1 内容提要 107

4.1.1 原函数与不定积分的概念 107

4.1.2 求不定积分 107

4.2 疑惑解析 109

4.3 补充例题 110

4.3.1 第一类换元法（凑微分法） 110

4.3.2 第二类换元法 111

4.3.3 分部积分法 112

4.3.4 裂项法 113

4.4 习题提示或解答 115

习题4-1 115

习题4-2 115

习题4-3 119

习题4-4 120

4.5 补充习题 121

4.6 补充习题提示或解答 121

4.7 自测题 124

第5章 定积分 126

5.1 定积分的概念与性质 126

5.1.1 内容提要 126

5.1.1.1 定积分的定义 126

5.1.1.2 基本定理 126

5.1.1.3 定积分中的一些重要关系式 127

5.1.2 疑惑解析 128

5.1.3 补充例题 129

5.1.3.1 利用定积分定义求数列极限 129

5.1.3.2 积分不等式的证明 129

5.1.4 习题提示或解答 132

习题5-1 132

5.1.5 补充习题 133

5.1.6 补充习题提示或解答 134

5.1.7 自测题 136

5.2 定积分的计算 138

5.2.1 内容提要 138

5.2.1.1 定积分计算的基本方法 138

5.2.1.2 简化定积分计算的方法与技巧 138

5.2.1.3 广义积分 139

5.2.2 疑惑解析 140

5.2.3 补充例题 140

5.2.3.1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 140

5.2.3.2 利用换元积分法计算定积分 141

5.2.3.3 利用分部积分公式计算定积分 141

5.2.3.4 利用对称区间上的奇（偶）函数的性质 141

5.2.3.5 利用周期函数的积分性质 142

5.2.3.6 利用三角函数积分的常用公式 142

5.2.3.7 特殊形式的定积分计算 143

5.2.3.8 利用定积分证明积分等式与不等式 144

5.2.4 习题提示或解答 145

习题5-2 145

习题5-3 147

习题5-4 150

5.2.5 补充习题 150

5.2.6 补充习题提示或解答 151

5.2.7 自测题 153

第6章 定积分的应用 155

6.1 内容提要 155

6.1.1 元素法 155

6.1.2 定积分的几何应用 155

6.1.3 定积分的物理应用 156

6.2 疑惑解析 156

6.3 补充例题 158

6.3.1 求平面图形的面积 158

6.3.2 求体积 159

6.3.3 求弧长 161

6.3.4 定积分在物理中的应用 161

6.4 习题提示或解答 163

习题6-2 163

习题6-3 166

习题6-4 168

6.5 补充习题 168

6.6 补充习题提示或解答 169

6.7 自测题 171

第7章 微分方程 173

7.1 内容提要 173

7.1.1 一阶微分方程 173

7.1.2 可降阶的高阶微分方程 174

7.1.3 二阶线性微分方程解的结构 174

7.1.4 二阶常系数线性微分方程 175

7.2 疑惑解析 176

7.3 补充例题 178

7.3.1 一阶微分方程 178

7.3.2 可降阶的微分方程 181

7.3.3 二阶线性微分方程 183

7.4 习题提示或解答 185

习题7-1 185

习题7-2 185

习题7-3 185

习题7-4 186

习题7-5 187

习题7-7 187

习题7-8 187

习题7-9 188

7.5 补充习题 188

7.6 补充习题提示或解答 189

7.7 自测题 190

模拟试卷一 192

模拟试卷二 194

模拟试卷三 196

模拟试卷参考答案 198