线性代数

第一章　行列式 1

§1.1 二阶和三阶行列式 1

一、二元线性方程组与二阶行列式 1

二、三元线性方程组与三阶行 3

§1.2　n阶行列式 7

一、排列的逆序数 7

二、n阶行列式的定义 11

§1.3 行列式的性质 15

§1.4 行列式的计算 19

一、化为三角行列式计算 19

二、按行（列）展开计算 23

§1.5 解线性方程组的克莱姆法则 34

习题一 39

第二章　矩阵 43

§2.1 矩阵的概念 43

一、引例 43

二、矩阵的定义 44

§2.2　矩阵的运算 47

一、矩阵相等 48

二、矩阵的加减法及其运算规律 48

三、数与矩阵的乘法及其运算规律 49

四、矩阵的乘法及其运算规律 50

五、矩阵的转置及其运算规律 54

一、矩阵的初等变换 57

§2.3 矩阵的初等变换及初等矩阵 57

二、初等矩阵 61

§2.4 逆矩阵及其求法 65

一、方阵的行列式及其性质 65

二、逆矩阵的定义及其性质 66

三、求逆矩阵的方法 70

§2.5 矩阵的秩及其求法 75

一、矩阵的秩的概念 75

二、求矩阵的秩的方法 77

§2.6 分块矩阵及其运算 78

习题二 85

一、n维向量的概念 89

§3.1　n维向量及其线性运算 89

第三章　n维向量 89

二、n维向量的线性运算 90

§3.2 向量组的线性相关性 91

一、线性相关与线性无关 93

二、向量组线性相关与线性无关的充分必要条件 97

三、向量组线性相关性的判别定理 100

§3.3 向量组的秩 102

一、等价向量组及其性质 102

二、向量组的最大线性无关组 103

三、向量组的秩及其性质 105

四、向量组的秩与矩阵的秩的关系 106

五、求向量组的秩与最大无关组的方法 107

一、向量的内积及其运算规律 110

§3.4 正交向量组 110

二、正交向量组及其性质 111

三、线性无关向量组的正交单位化方法——施米特正交化 112

§3.5 向量空间 115

一、向量空间的概念 115

二、向量空间的基底、维数、坐标 117

三、基变换与坐标变换 119

习题三 123

§4.1　齐次线性方程组 127

一、方程组的几种表示形式 127

第四章 线性方程组 127

二、解向量及其性质 128

三、齐次线性方程组有非零解的必要充分条件 129

四、齐次线性方程组的基础解系及通解 130

五、求齐次线性方程组的基础解系及通解的方法 134

§4.2 非齐次线性方程组 138

一、方程组的几种表示形式 138

二、非齐次线性方程组有解的必要充分条件 139

三、非齐次线性方程组解的性质及通解结构 140

四、求解非齐次线性方程组的方法和步骤 142

习题四 149

一、引例 152

§5.1 矩阵的特征值与特征向量 152

第五章 矩阵的特征值与特征向量 152

二、矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质 153

三、求矩阵的特征值与特征向量的方法 155

§5.2 相似矩阵 160

一、相似矩阵及其性质 160

二、方阵与对角矩阵相似的条件 162

§5.3 实对称矩阵的相似对角矩阵 167

一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 168

二、正交矩阵及其性质 169

三、化实对称矩阵为对角矩阵的方法 172

习题五 180

一、二次型的定义及矩阵表示 182

第六章 二次型 182

§6.1 二次型及其矩阵表示 182

二、二次型的矩阵及秩 184

§6.2　化二次型为标准形 184

一、线性变换与二次型的标准形 184

二、用正交变换化二次型为标准形 186

三、用配方法化二次型为标准形 189

§6.3 正定二次型和正定矩阵 192

一、二次型的惯性定理 192

二、正定二次型与正定矩阵 194

习题六 198

习题答案 199