线性代数

序 1

前言 1

第1章 行列式 1

本章学习目标 1

1.1 二阶与三阶行列式 1

1.1.1 二阶行列式 1

1.1.2 三阶行列式 2

1.2 逆序与对换 3

1.2.1 排列与逆序 3

1.2.2 对换 4

1.3 n阶行列式的定义 4

1.4 行列式的性质 6

1.5.2 行列式按行（列）展开 9

1.5.1 余子式与代数余子式 9

1.5 行列式按行（列）展开 9

1.6 克莱姆法则 14

1.6.1 克莱姆（Cramer）法则 14

1.6.2 克莱姆法则的推论 16

本章小结 17

习题 17

同步测试题 18

第2章 矩阵及其运算 22

本章学习目标 22

2.1 矩阵的基本概念 22

2.1.1 矩阵的定义 22

2.1.2 几种特殊形式的矩阵 22

2.2.1 矩阵的加法 24

2.2.2 数与矩阵的乘法 24

2.2 矩阵的运算 24

2.2.3 矩阵与矩阵的乘法 25

2.2.4 矩阵的转置 29

2.2.5 方阵的行列式 31

2.2.6 方阵A的伴随矩阵 32

2.2.7 共轭矩阵 34

2.3 逆矩阵 34

2.3.1 逆矩阵的定义及性质 35

2.3.2 方阵A可逆的充分必要条件及A-1的求法 36

2.3.3 可逆矩阵的性质 39

2.4 矩阵分块法 39

2.4.1 分块矩阵的概念 39

2.4.2 分块矩阵的运算 41

2.4.3 分块对角矩阵 43

本章小结 44

习题 47

同步测试题 49

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 52

本章学习目标 52

3.1 初等变换与初等矩阵 52

3.1.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 52

3.1.2 初等矩阵 54

3.1.3 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 55

3.2 矩阵的秩 59

3.2.1 矩阵秩的概念 59

3.2.2 用初等变换求矩阵的秩 59

3.3 线性方程组的解 61

3.3.1 齐次线性方程组的解 61

3.3.2 非齐次线性方程组的解 63

本章小结 65

习题 66

同步测试题 67

第4章 向量组与线性方程组的解的结构 71

本章学习目标 71

4.1 向量组及其线性组合 71

4.1.1 n维向量的概念 71

4.1.2 n维向量的线性运算 73

4.1.3 向量组的线性组合与线性表示 74

4.1.4 向量组的等价 75

4.2 向量组的线性相关性 76

4.2.1 线性相关与线性无关的定义 76

4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件 77

4.2.3 线性相关性的判定定理 79

4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义 80

4.3 向量组的秩 80

4.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系 81

4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组 82

4.4 线性方程组的解的结构 83

4.4.1 齐次线性方程组的解的结构 84

4.4.2 非齐次线性方程组的解的结构 88

本章小结 92

习题 94

同步测试题 98

第5章 相似矩阵与二次型 102

本章学习目标 102

5.1 向量的内积、正交化方法 102

5.1.1 向量的内积 102

5.1.2 向量的长度 103

5.1.3 正交向量组 104

5.1.4 正交化方法 105

5.1.5 正交矩阵 106

5.2 方阵的特征值与特征向量 107

5.2.1 方阵的特征值与特征向量 107

5.2.2 n阶方阵A的特征值与特征向量的求法 108

5.2.3 特征值的性质 111

5.2.4 特征向量的性质 112

5.3 相似矩阵 113

5.3.1 相似矩阵的概念 113

5.3.2 相似矩阵的性质 113

5.3.3 矩阵的相似对角化 114

5.4.1 实对称矩阵的性质 116

5.4.2 实对称矩阵的相似对角形 116

5.4 实对称矩阵的相似矩阵 116

5.5 二次型及其矩阵表示 119

5.5.1 合同矩阵 119

5.5.2 二次型及其矩阵表示 119

5.6 二次型的标准形 122

5.6.1 二次型的标准形的定义 122

5.6.2 用正交变换法化二次型为标准形 122

5.6.3 用配方法化二次型为标准形 124

5.6.4 惯性定理与二次型的规范形 125

5.7 正定二次型 126

本章小结 128

习题 131

同步测试题 133

习题与同步测试题提示与答案 137

参考文献 156