随机动力学引论

第1章 绪论 1

第2章 随机变量 7

2.1 引言 7

2.2 概率分布 7

2.3 统计矩 10

2.4 特征函数与累积量 11

2.4.1 特征函数 11

2.4.2 累积量 12

2.5 常用概率分布 12

2.5.1 高斯（正态）分布 13

2.5.2 均匀分布 14

2.5.3 瑞利分布 14

2.5.4 指数分布 15

2.5.5 λ-分布 15

2.5.6 泊松分布 16

2.6 随机矢量 17

2.6.1 联合概率分布 17

2.6.2 条件分布 18

2.6.3 统计矩 18

2.6.4 特征函数和累积量 19

2.6.5 高斯随机矢量 21

2.7 随机变量的函数 22

2.7.1 矩 22

2.7.2 概率分布 23

2.8 随机变量的模拟 25

2.8.1 随机数 26

2.8.2 离散随机变量 26

2.8.3 单个连续随机变量 27

2.8.4 多个连续随机变量 28

2.8.5 两个相关的高斯随机变量 28

2.8.6 变换方法 29

习题2 32

第3章 随机过程 37

3.1 引言 37

3.2 随机过程的描述 38

3.2.1 概率分布 38

3.2.2 矩函数 38

3.2.3 累积量函数 39

3.2.4 两个联合分布的随机过程 40

3.3 平稳随机过程 40

3.4 遍历过程 42

3.5 随机微积分 43

3.5.1 收敛模式 43

3.5.2 二阶随机过程 43

3.5.3 随机过程的微分 45

3.5.4 导数过程的统计性质 45

3.5.5 随机过程L2黎曼积分 46

3.5.6 随机过程的L2斯蒂尔切斯积分 47

3.6 谱描述 47

3.6.1 平稳过程的谱密度函数 48

3.6.2 导数过程的谱密度函数 48

3.6.3 谱矩 49

3.6.4 非平稳过程的谱密度函数 53

3.7 高斯随机过程 53

3.8 泊松过程及与其有关的随机过程 54

3.8.1 齐次泊松过程 54

3.8.2 非齐次泊松过程 55

3.8.3 复合泊松过程 55

3.8.4 脉冲噪声过程 56

3.9 演化随机过程 57

3.9.1 用正交增量过程构造弱平稳过程 58

3.9.2 演化随机过程 59

3.9.3 随机脉冲列——一类演化过程 60

习题3 61

第4章 马尔可夫及与其有关的随机过程 66

4.1 引言 66

4.2 马尔可夫过程 66

4.2.1 马尔可夫过程 66

4.2.2 福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫方程 67

4.2.3 柯尔莫哥洛夫后向方程 69

4.2.4 维纳过程 70

4.2.5 维纳过程与高斯白噪声之间的关系 72

4.2.6 伊藤随机微分方程 73

4.2.7 斯特拉多诺维奇随机微分方程 75

4.3 受高斯白噪声激励的系统 78

4.4 一维扩散过程 82

4.4.1 概率密度函数 82

4.4.2 边界分类 83

4.4.3 奇异边界 84

4.5 由维纳过程产生的随机过程 89

4.5.1 用一阶滤波器产生的随机过程 89

4.5.2 用二阶滤波器产生的随机过程 93

4.5.3 随机化谐和过程 97

4.6 模拟 101

4.6.1 高斯白噪声的模拟 101

4.6.2 伊藤方程的模拟 103

4.6.3 平稳高斯过程的模拟 104

4.6.4 随机化谐和过程的模拟 107

4.6.5 由一阶非线性滤波器产生的有界过程模拟 107

4.6.6 由二阶非线性滤波器产生的有界过程模拟 108

习题4 109

第5章 线性系统对随机激励的响应 115

5.1 确定性线性系统理论回顾 115

5.1.1 频率响应函数 116

5.1.2 脉冲响应函数 116

5.1.3 频率响应函数与脉冲响应函数之间的关系 117

5.1.4 多自由度系统 118

5.1.5 正交模态分析 122

5.2 线性系统对随机激励的响应 126

5.3 对平稳随机激励的响应 129

5.3.1 时域分析 129

5.3.2 频域分析 132

5.4 对非平稳随机激励的响应 134

5.5 扩散过程方法 136

5.5.1 矩方程 137

5.5.2 相关函数与谱密度函数 141

5.5.3 福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫（FPK）方程 143

习题5 144

第6章 非线性随机系统的精确平稳解 150

6.1 平稳势 150

6.2 详细平衡 153

6.2.1 外激单自由度系统 154

6.2.2 同受外激与参激的单自由度系统 155

6.2.3 阻尼与恢复力项同受参激的单自由度系统 156

6.2.4 具有耦合恢复力的两自由度系统 158

6.2.5 有耦合阻尼力的两自由度系统 159

6.3 广义平稳势 160

6.3.1 单自由度非线性系统 161

6.3.2 多自由度非线性系统 165

6.4 随机激励的耗散的哈密顿系统 169

6.4.1 哈密顿系统及其分类 169

6.4.2 随机激励的耗散的哈密顿系统的精确平稳解 170

6.4.3 完全不可积情形 172

6.4.4 完全可积非共振情形 173

6.4.5 部分可积非共振情形 175

6.5 参激线性系统 177

习题6 180

第7章 非线性随机系统的近似解 183

7.1 等效线性化 183

7.1.1 等效线性化 183

7.1.2 部分线性化 186

7.1.3 参激非线性系统的线性化 187

7.2 忽略高阶累积量截断 194

7.2.1 响应矩 194

7.2.2 响应相关函数与谱密度 199

7.3 等效非线性系统法 203

7.3.1 加权残数法 204

7.3.2 耗散能量平衡 205

7.4 随机平均法 215

7.4.1 幅值包线随机平均 220

7.4.2 能量包线随机平均 227

7.4.3 在非线性随机生态系统中的应用 235

7.5 随机激励的耗散的哈密顿系统 242

7.5.1 等效非线性系统法 242

7.5.2 拟哈密顿系统随机平均法 246

习题7 250

第8章 随机激励系统的稳定性与分岔 255

8.1 随机稳定性 255

8.1.1 随机稳定性的概念与分类 256

8.1.2 参激线性系统渐近样本稳定性 258

8.1.3 参激线性系统的矩渐近稳定性 264

8.1.4 非线性随机系统的渐近稳定性 268

8.1.5 拟哈密顿系统的渐近稳定性 275

8.2 随机分岔 278

8.2.1 确定性分岔 279

8.2.2 随机分岔 288

习题8 299

第9章 随机激励系统的首次穿越 303

9.1 可靠性函数 303

9.2 广义庞德辽金方程 309

9.3 首次穿越时间的矩 311

9.3.1 响应幅值的首次穿越时间的矩 311

9.3.2 响应能量首次穿越时间的矩 314

9.4 拟哈密顿系统的首次穿越 320

9.5 随机激励结构的疲劳损坏 325

9.5.1 确定性模型 326

9.5.2 随机模型与分析 326

9.5.3 平稳高斯应力过程情形 331

习题9 336

参考文献 338

索引 346