数学分析教程 上

第1章 极限理论 1

1.1 数列的极限 1

1.1.1 数列极限的定义 1

1.1.2 无穷小量·无穷大量 8

1.1.3 收敛数列的性质及运算 15

1.1.4 夹逼法则 25

1.1.5 施笃兹定理 28

1.1.6 上确界·下确界·单调数列的极限 31

1.1.7 数e 38

习题 42

1.2 函数的极限 48

1.2.1 函数极限的定义 48

1.2.2 函数极限的性质 61

1.2.3 无穷大（小）的比较·o,O,O的运算 70

1.2.4 单侧极限·单调有界法则 78

1.2.5 常用极限·求极限时常用的等式、不等式 81

习题 82

1.3 实数系的基本定理 86

1.3.1 区间套定理 86

1.3.2 聚点存在定理·子数列收敛定理 91

1.3.3 上极限·下极限 94

1.3.4 收敛准则 107

1.3.5 有限覆盖定理 111

习题 114

第1章总习题 117

第2章 一元连续函数 119

2.1 连续·间断 119

2.1.1 连续函数的概念 119

2.1.2 初等函数的连续性 123

2.1.3 单方连续·间断 127

2.1.4 利用连续性求极限 131

习题 136

2.2 连续函数的性质 140

2.2.1 有界性定理·最大值、最小值定理 140

2.2.2 零点定理·介值定理 142

2.2.3 一致连续 144

2.2.4 一致连续函数之例 149

习题 152

第2章总习题 154

第3章 导数·微分 156

3.1 一阶导数·一阶微分 156

3.1.1 导数的概念 156

3.1.2 导数的运算 161

3.1.3 求导数之例 172

3.1.4 单方导数·间断的导函数 176

3.1.5 微分的概念 182

3.1.6 上半连续·下半连续·霍尔德连续 186

习题 190

3.2 高阶导数·高阶微分 195

3.2.1 高阶导数 195

3.2.2 高阶微分 201

3.2.3 参变量方程所定义的函数·隐函数的导数及微分 203

习题 206

第3章总习题 207

第4章 利用导数研究函数 209

4.1 微分学基本定理 209

4.1.1 费马定理·罗尔定理 209

4.1.2 中值定理 213

4.1.3 不定式的定值 217

习题 225

4.2 泰勒公式 228

4.2.1 泰勒公式及其余项 228

4.2.2 初等函数的泰勒公式 236

习题 241

4.3 函数的局部性质·整体性质 242

4.3.1 函数上升、下降的判别法 242

4.3.2 函数的极值、最大值、最小值 246

4.3.3 凸函数·函数的拐点 251

4.3.4 函数的图形 258

习题 267

第4章总习题 269

第5章 实数理论 271

5.1 实数的公理系统 271

5.1.1 数的发展过程 271

5.1.2 实数的公理系统 272

习题 277

5.2 康托尔的实数模型 278

5.2.1 实数的定义 278

5.2.2 Rc上的四则运算 283

5.2.3 Rc上的次序 290

5.2.4 Rc上的绝对值与不等式 294

5.2.5 Rc上的极限 296

习题 304

5.3 实数的其他模型 305

5.3.1 p进制法简介 305

5.3.2 狄德金分划法简介 306

5.3.3 连分数法简介 308

5.3.4 实数系是最大的阿基米德有序域 309

习题 310

第5章总习题 311

第6章 不定积分 312

6.1 不定积分·原函数 312

习题 317

6.2 换元积分法·分部积分法 318

6.2.1 换元积分法 318

6.2.2 分部积分法 323

习题 327

6.3 有理函数的积分 330

习题 339

6.4 三角函数有理式的积分 340

习题 343

6.5 某些无理函数的积分 345

6.5.1 ∫R(x,ax+b/cx+d),…,(ax+b/cx+d)s)dx(ad-bc≠0) 345

6.5.2 ∫xr(a+bxs)pdx 346

6.5.3 ∫R(x,？)dx 348

习题 351

6.6 几种不能表示成初等函数的积分 352

6.7 简单的微分方程 354

6.7.1 基本概念 354

6.7.2 可分离变量的一阶方程 355

6.7.3 可化为变量分离的一阶方程 359

6.7.4 一阶线性方程 363

6.7.5 二阶常系数线性方程 367

习题 371

第6章总习题 372

第7章 定积分 375

7.1 定积分及其存在条件 375

7.1.1 定积分的概念 375

7.1.2 定积分的存在条件 379

习题 383

7.2 几类可积函数 384

习题 388

7.3 定积分的性质 390

习题 396

7.4 定积分的计算 397

7.4.1 微积分基本公式 397

7.4.2 定积分的换元法 403

7.4.3 定积分的分部积分法 405

习题 414

7.5 定积分的近似计算 416

7.5.1 梯形公式 417

7.5.2 抛物线公式 417

习题 420

7.6 定积分的应用 421

7.6.1 平面图形的面积 421

7.6.2 截面面积为已知的立体的体积 428

7.6.3 曲线的弧长 432

7.6.4 旋转面的面积 440

7.6.5 力学量和物理量的计算 444

习题 449

第7章总习题 452

第8章 多元函数 456

8.1 欧几里得空间 456

8.1.1 基本概念 456

8.1.2 基本性质 460

8.1.3 几个基本定理 465

习题 471

8.2 多元函数及其极限 473

8.2.1 多元函数 473

8.2.2 极限 474

8.2.3 累次极限 478

习题 482

8.3 多元函数的连续性 483

8.3.1 连续函数及其运算 483

8.3.2 连续函数的性质 485

习题 489

8.4 向量值函数 491

8.4.1 基本概念 491

8.4.2 极限 494

8.4.3 连续性 496

习题 498

第8章总习题 498

第9章 多元函数的微分学 500

9.1 偏导数·全微分 500

9.1.1 偏导数 500

9.1.2 全微分 504

9.1.3 链锁法则 509

9.1.4 一阶全微分的形式的不变性 515

习题 518

9.2 高阶偏导数·高阶全微分 521

9.2.1 高阶偏导数 521

9.2.2 高阶全微分 530

9.2.3 泰勒公式 533

习题 538

9.3 向量值函数的导数与可微性 541

9.3.1 向量值函数的偏导数 541

9.3.2 可微性 545

9.3.3 链锁法则 547

习题 551

9.4 隐函数及其微分法 553

9.4.1 问题的提出 553

9.4.2 纯量值隐函数 554

9.4.3 向量值隐函数 561

习题 574

9.5 函数相关·函数独立 577

9.5.1 基本概念 577

9.5.2 函数独立的判定 578

习题 583

9.6 微分学的应用 584

9.6.1 空间曲线的切线与法平面 584

9.6.2 曲面的切平面与法线 589

9.6.3 平面曲线的曲率 595

9.6.4 多元函数的极值 598

9.6.5 最大值·最小值 605

9.6.6 条件极值·拉格朗日乘数法 609

习题 615

第9章总习题 618

习题答案与提示 621

参考文献 657