复变函数与积分变换

第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数与复平面 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的几何表示 1

1.1.3 复数的运算 2

1.1.4 复数的三角表示与指数表示 3

1.1.5 复数的乘方和开方 5

1.1.6 无穷远点和复球面 8

习题1.1 10

1.2 复平面点集 10

1.2.1 点集的概念 10

1.2.2 区域 11

1.2.3 平面曲线 11

1.2.4 单连通区域和多（复）连通区域 12

习题1.2 13

1.3 复变函数 14

1.3.1 复变函数的概念 14

1.3.2 复变函数的极限与连续 15

习题1.3 19

本章小结 19

综合练习题1 20

第2章 解析函数 22

2.1 解析函数的概念 22

2.1.1 复变函数的导数 22

2.1.2 复变函数可导的充分必要条件 23

2.1.3 求导的运算法则 25

2.1.4 解析函数概念 25

2.1.5 解析函数的充分必要条件 26

习题2.1 27

2.2 解析函数与调和函数 27

2.2.1 调和函数 27

2.2.2 共轭调和函数 28

2.2.3 解析函数与调和函数的关系 29

习题2.2 30

2.3 初等函数 31

2.3.1 指数函数 31

2.3.2 对数函数 32

2.3.3 幂函数 33

2.3.4 三角函数 34

2.3.5 反三角函数 35

2.3.6 双曲函数与反双曲函数 36

习题2.3 37

本章小结 37

综合练习题2 38

第3章 复变函数的积分 40

3.1 复变函数的积分 40

3.1.1 复变函数积分的概念 40

3.1.2 复变函数积分的基本性质 41

3.1.3 复变函数积分存在的条件及其计算方法 42

习题3.1 45

3.2 柯西积分定理 45

3.2.1 柯西积分定理 45

3.2.2 复合闭路定理 47

3.2.3 解析函数的原函数 49

习题3.2 51

3.3 柯西积分公式 52

3.3.1 柯西积分公式 52

3.3.2 解析函数的高阶导数 55

习题3.3 58

本章小结 58

综合练习题3 59

第4章 级数 61

4.1 复数项级数 61

4.1.1 复数序列 61

4.1.2 复数项级数 62

4.1.3 复变函数项级数 64

4.1.4 幂级数 65

4.1.5 幂级数的运算性质 68

习题4.1 70

4.2 泰勒（Taylor）级数 70

4.2.1 解析函数的泰勒展开式 70

4.2.2 一些初等函数的泰勒展开式 73

习题4.2 74

4.3 罗朗（Laurent）级数 74

4.3.1 双边幂级数 74

4.3.2 解析函数的罗朗展开式 75

习题4.3 77

本章小结 77

综合练习题4 77

第5章 留数 79

5.1 孤立奇点 79

5.1.1 孤立奇点及分类 79

5.1.2 复变函数的零点与极点的关系 81

5.1.3 函数在无穷远点的性态 82

习题5.1 83

5.2 留数 83

5.2.1 留数的概念 83

5.2.2 留数的计算 83

5.2.3 无穷远点的留数 85

习题5.2 85

5.3 留数定理及其应用 86

5.3.1 留数定理 86

5.3.2 计算沿简单闭曲线的复积分 88

5.3.3 留数在定积分计算中的应用 89

习题5.3 93

本章小结 93

综合练习题5 94

第6章 共形映射 96

6.1 导数的几何意义与共形映射 96

6.1.1 导数的几何意义 96

6.1.2 共形映射的概念 98

6.1.3 共形映射的基本问题 99

习题6.1 100

6.2 分式线性映射 100

6.2.1 分式线性函数的分解 100

6.2.2 分式线性映射的性质 103

6.2.3 唯一决定分式线性映射的条件 107

6.2.4 两类典型的分式线性映射 109

习题6.2 111

6.3 几个初等函数构成的共形映射 112

6.3.1 幂函数w＝zn（n≥2,n∈N）与根式函数w＝？构成的映射 112

6.3.2 指数函数w＝ez与对数函数w＝Inz构成的映射 114

习题6.3 116

本章小结 117

综合练习题6 117

第7章 傅里叶变换 119

7.1 傅里叶变换的概念 119

7.1.1 傅里叶级数 119

7.1.2 傅里叶积分公式 121

7.1.3 傅里叶变换的概念 123

习题7.1 125

7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换 125

7.2.1 单位脉冲函数的概念及其性质 125

7.2.2 单位脉冲函数的傅里叶变换 127

习题7.2 129

7.3 傅里叶变换的性质 129

7.3.1 傅里叶变换的基本性质 130

7.3.2 卷积与卷积定理 133

7.3.3 傅里叶变换的应用 136

习题7.3 138

本章小结 138

综合练习题7 139

第8章 拉普拉斯变换 140

8.1 拉普拉斯变换的概念 140

8.1.1 拉普拉斯变换的定义和存在定理 140

8.1.2 一些常用函数的拉普拉斯变换 142

8.1.3 反演积分公式 143

8.1.4 留数法计算反演积分公式 144

习题8.1 145

8.2 拉普拉斯变换的性质 146

8.2.1 拉氏变换的线性性质与相似性质 146

8.2.2 拉氏变换的延迟与位移性质 147

8.2.3 拉氏变换的微分性质 148

8.2.4 拉氏变换的积分性质 149

8.2.5 周期函数的像函数 150

8.2.6 卷积与卷积定理 151

习题8.2 152

8.3 拉普拉斯变换的应用举例 152

8.3.1 求解常系数微分方程（组） 153

8.3.2 求解积分方程 155

8.3.3 计算无穷积分 157

习题8.3 158

本章小结 158

综合练习题8 159

习题参考答案 160

附录 171

附录1 复变函数与积分变换的数学实验 171

附录2 傅里叶变换简表 178

附录3 拉普拉斯变换简表 181

参考文献 186