线性代数

第一章 行列式 1

1.1行列式的基本概念和基本性质 1

一、n阶行列式 1

二、行列式的性质 2

三、三角行列式与对角行列式 4

四、三角化行列式 5

1.2行列式按行（列）展开 7

一、行列式按一行（或列）展开 7

二、行列式的计算方法 9

学习指导（一） 12

综合练习一 15

第二章 矩阵 17

2.1矩阵的基本概念及其运算 17

一、矩阵的基本概念 17

二、矩阵的线性运算 20

三、矩阵的乘法 21

四、转置矩阵 23

五、方阵的乘幂 25

六、方阵的行列式 26

七、对称矩阵与反对称矩阵 27

2.2矩阵的初等变换与矩阵的秩 28

一、矩阵的初等变换 28

二、阶梯阵与行最简形 29

三、标准型矩阵 30

四、矩阵的等价 31

五、矩阵的秩 31

六、用初等行变换求矩阵的秩 32

七、用初等行变换解线性方程组 33

2.3逆矩阵 36

一、逆矩阵的概念 36

二、伴随矩阵法 38

2.4初等方阵与矩阵求逆 43

一、初等方阵 43

二、初等方阵与初等变换之间的关系 45

2.5分块矩阵 49

一、分块矩阵的概念 49

二、分块矩阵的运算 49

三、特殊的分块矩阵 52

四、常用的分块矩阵求逆公式 52

学习指导（二） 55

综合练习二 61

第三章 向量 68

3.1向量的基本概念 68

一、向量 68

二、向量的运算 70

3.2向量组的线性相关性 71

一、向量组的线性相关性 71

二、向量组的线性相关性的有关性质 73

三、用矩阵的秩判别向量组的线性相关性 78

3.3极大线性无关组和向量组的秩 80

一、向量组的极大线性无关组 80

二、向量组的秩 81

三、矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 81

四、等价向量组 81

五、求向量组的极大无关组 82

3.4向量的内积与正交矩阵 84

一、向量的内积 85

二、正交基与规范正交基 86

三、施密特正交化方法 88

四、正交矩阵 89

学习指导（三） 91

综合练习三 93

第四章 线性方程组 98

4.1克莱姆法则 98

4.2齐次线性方程组 101

一、齐次线性方程组的形式 101

二、齐次线性方程组有非零解的条件 102

三、齐次线性方程组的解的性质 102

四、齐次线性方程组的解的结构 103

五、齐次线性方程组的基础解系与通解 106

4.3非齐次线性方程组 107

一、非齐次线性方程组的有解条件 107

二、非齐次线性方程组的四个等价命题 108

三、Ax=b与导出组Ax=0在有解时的关系 108

四、非齐次线性方程组的解的性质 108

五、非齐次线性方程组的解的结构 109

六、求非齐次线性方程组的通解 109

七、向量的线性表示与Ax=b的解 112

学习指导（四） 114

综合练习四 121

第五章 矩阵的特征值与特征向量 130

5.1矩阵的特征值与特征向量 130

一、特征值与特征向量的基本概念 130

二、求方阵A的特征值与特征向量 132

三、特征值与特征向量的性质 137

5.2相似矩阵与方阵的对角化 141

一、相似矩阵 141

二、相似矩阵的性质 141

三、方阵的对角化 143

四、方阵A对角化的步骤 146

5.3实对称矩阵的正交相似对角化 149

一、实对称矩阵的特殊性质 149

二、实对称矩阵的正交相似对角化 151

学习指导（五） 155

综合练习五 159

第六章 二次型 165

6.1二次型及其矩阵表示 165

一、二次型的概念 165

二、二次型的矩阵 165

6.2化二次型为标准形 168

一、线性变换 168

二、二次型的标准形 169

三、矩阵的合同 170

四、正交变换法化二次型为标准形 170

五、二次型的规范形和惯性定理 174

六、配方法化二次型为标准形 176

6.3正定二次型 178

一、正定二次型 179

二、正定二次型判别定理 179

三、二次型f的正定性判别法 181

四、其他类型的二次型 182

学习指导（六） 183

综合练习六 188

习题答案 191

综合练习答案 198

参考文献 211