数学物理方程

第1章 典型方程与定解条件 1

1.1基础理论知识 1

1.1.1偏微分方程的一些基本概念 1

1.1.2解析函数与调和函数 3

1.1.3几个简单的求解偏微分方程的例子 7

1.2一些典型方程的导出与定解条件 9

1.2.1弦振动方程与定解条件 9

1.2.2热传导方程与定解条件 13

1.2.3定解问题 16

1.2.4定解问题的适定性 20

1.3变分原理 20

1.3.1捷线问题 20

1.3.2极小曲面问题 24

1.3.3膜的平衡问题 27

1.4二阶线性偏微分方程的分类 29

1.4.1两个自变量的二阶线性偏微分方程 30

1.4.2多个自变量的二阶线性偏微分方程 47

1.5叠加原理 48

习题1 50

第2章 分离变量法 52

2.1基础理论知识 52

2.1.1二阶线性常微分方程的解的结构 52

2.1.2二阶线性常系数常微分方程的解法 55

2.1.3常数变易法 56

2.1.4欧拉方程的解法 58

2.1.5傅里叶级数 59

2.2分离变量法 61

2.2.1有界弦的自由振动问题 61

2.2.2有限长杆的热传导问题 66

2.2.3二维拉普拉斯方程的边值问题 69

2.2.4非齐次方程的求解问题 74

2.2.5具有非齐次边界条件的问题 84

2.2.6高维方程混合问题及边值问题的分离变量法 90

2.2.7斯图姆—刘维尔（Strum-Liouville）问题 107

习题2 111

第3章 行波法 115

3.1基础理论知识 115

3.2一维齐次波动方程的初值问题 118

3.2.1无界弦的自由振动 118

3.2.2半无界弦的自由振动 125

3.3一维非齐次波动方程的初值问题 126

3.3.1无界弦的强迫振动问题 126

3.3.2齐次初始条件的强迫振动问题 128

3.4三维波动方程的初值问题 133

3.4.1三维齐次波动方程的初值问题 133

3.4.2三维非齐次波动方程的初值问题 142

3.5二维波动方程的初值问题——降维法 146

3.5.1二维齐次波动方程的初值问题 146

3.5.2二维非齐次波动方程的初值问题 151

3.6泊松公式的物理意义 153

3.6.1三维波动方程初值问题泊松公式的物理意义 153

3.6.2二维波动方程初值问题泊松公式的物理意义 154

习题3 155

第4章 积分变换法 157

4.1基础理论知识 157

4.1.1傅里叶变换 157

4.1.2傅里叶正弦变换与余弦变换 168

4.1.3拉普拉斯变换 170

4.2积分变换的应用 182

4.2.1傅里叶变换的应用 182

4.2.2拉普拉斯变换的应用 195

习题4 205

第5章 格林函数法 208

5.1基础理论知识 208

5.1.1格林公式 208

5.1.2高斯公式与散度 209

5.1.3第一格林公式与第二格林公式 209

5.2格林函数法 211

5.2.1拉普拉斯方程边值问题的提法 211

5.2.2格林公式的应用 212

5.2.3格林函数 217

5.2.4格林函数的应用 218

习题5 224

第6章 特殊函数 226

6.1基础理论知识 226

6.1.1正项级数及其审敛法 226

6.1.2微分方程的幂级数解法 228

6.1.3 Γ函数和B函数 230

6.2特殊函数 235

6.2.1贝塞尔函数 235

6.2.2贝塞尔函数的应用 242

6.2.3勒让德多项式 248

6.2.4勒让德多项式的应用 255

6.2.5埃尔米特多项式 263

习题6 269

第7章 能量积分法与变分法 271

7.1基础理论知识 271

7.1.1一维波动方程的能量积分 271

7.1.2变分法的物理背景 272

7.2能量积分法与变分法 274

7.2.1一维波动方程初值问题的能量不等式 274

7.2.2一维波动方程初值问题解的唯一性与稳定性 278

7.2.3一维波动方程初边值问题的能量不等式 279

7.2.4变分问题的可解性 281

7.2.5吕兹-伽辽金方法 283

习题7 286

附录 288

附录Ⅰ 傅里叶积分变换表 288

附录Ⅱ 拉普拉斯积分变换表 289

附录Ⅲ 数学物理方程发展历史简介 293

附录Ⅳ 数学物理方程自测试题 304

习题参考答案与提示 314

参考文献 327