高等数学

第1章　函数的概念 1

1.1 函数 1

1.1.1　常量与变量、区间与邻域 1

1.1.2　函数的概念 2

1.1.3　函数的特性 4

1.1.4　反函数 5

1.2　初等函数 6

1.2.1　基本初等函数 6

1.2.2　复合函数 6

1.2.3　初等函数 7

1.3　数学模型方法简介 7

1.3.1 数学模型 7

1.3.2　数学建模 8

1.3.3　数学建模的意义 8

1.3.4　数学建模的方法与过程 8

1.3.5　数学建模举例 10

1.4　数学实验：Mathematica中的函数定义及一元函数作图 13

1.4.1 自定义函数 13

1.4.2　一元函数作图 14

1.4.3　参数方程作图 18

1.4.4　极坐标作图 19

本章小结 20

习题1 21

第2章　极限与连续 22

2.1　极限的概念 22

2.1.1　数列的极限 22

2.1.2　函数的极限 23

2.1.3　无穷小量 25

2.1.4　无穷大量 26

2.2　极限的性质与运算法则 27

2.2.1 极限的四则运算法则 28

2.2.2　两个重要极限 29

2.2.3　无穷小量阶的比较 30

2.3　函数的连续性与间断点 31

2.3.1 函数的连续性定义 32

2.3.2 函数的间断点及其分类 33

2.3.3　初等函数的连续性 34

2.3.4　闭区间上连续函数的性质 35

2.4　数学实验：函数的极限 36

2.4.1　观察函数的变化趋势 36

2.4.2　极限的计算 39

本章小结 40

习题2 41

第3章　导数与微分 44

3.1　导数的概念 44

3.1.1　导数的概念 44

3.1.2　基本导数公式 49

3.1.3　可导与连续 49

3.2　求导法则 50

3.2.1　导数的四则运算 50

3.2.2　复合函数的求导法则 51

3.2.3　初等函数的导数 52

3.2.4　三个求导方法 52

3.3　高阶导数 54

3.4　微分 55

3.4.1　微分的概念 55

3.4.2　微分的几何意义 56

3.4.3　微分的基本公式及其运算法则 56

3.4.4　微分在近似计算中的应用 58

3.5　数学实验：导数与微分 59

3.5.1 观察函数在某一点的变化率 59

3.5.2　导数与微分的计算 59

本章小结 61

习题3 62

第4章　导数的应用 66

4.1 拉格朗日中值定理及函数的单调性 66

4.1.1　拉格朗日中值定理 66

4.1.2　函数的单调性 68

4.2　函数的极值与最值 70

4.2.1 函数的极值 70

4.2.2　函数的最值 73

4.3　函数图形的描绘 75

4.3.1 曲线的凹凸性与拐点 75

4.3.2　曲线的渐近线 77

4.3.3　函数作图 79

4.4　柯西中值定理与洛必达法则 80

4.4.1　柯西中值定理 80

4.4.2　洛必达法则 81

4.5　数学实验：函数的极值与最值 83

本章小结 85

习题4 85

第5章　不定积分 88

5.1 不定积分的概念 88

5.1.1 原函数的概念 88

5.1.2　不定积分的定义 89

5.1.3　不定积分的几何意义 89

5.1.4　不定积分的基本公式 90

5.1.5　不定积分的性质 91

5.1.6　直接积分法 91

5.1.7　不定积分应用举例 91

5.2　不定积分的换元积分法 92

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 92

5.2.2　第二换元积分法 94

5.3　不定积分的分部积分法 96

本章小结 98

习题5 99

第6章　定积分 101

6.1 定积分的概念和性质 101

6.1.1　定积分问题举例 101

6.1.2　定积分的定义 103

6.1.3　定积分的几何意义 104

6.1.4　定积分的性质 105

6.2　积分基本公式 107

6.2.1　变上限函数及其导数 107

6.2.2　牛顿-莱布尼茨公式 108

6.3　定积分的计算方法 109

6.3.1 定积分的换元积分法 109

6.3.2　定积分的分部积分法 111

6.4　广义积分 112

6.4.1 积分区间为无穷区间的广义积分 112

6.4.2　被积函数为无界函数的广义积分 113

6.5　数学实验：积分计算 114

本章小结 115

习题6 116

第7章　定积分的应用 119

7.1　定积分的微元法 119

7.2　定积分在几何上的应用 120

7.2.1　平面图形的面积 120

7.2.2　旋转体的体积 122

7.2.3　平面曲线的弧长 123

7.3　定积分在物理上的应用 125

7.3.1　引力 125

7.3.2　功 125

本章小结 127

习题7 127

第8章　微分方程 128

8.1 微分方程的基本概念与分离变量法 128

8.1.1　微分方程的基本概念 128

8.1.2　分离变量法 129

8.2　一阶线性微分方程 131

8.2.1 一阶齐次线性微分方程的解法 131

8.2.2　一阶非齐次线性方程的解法 133

8.3　二阶常系数线性微分方程 135

8.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构 135

8.3.2　二阶常系数齐次线性微分方程的解法 135

8.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 137

8.4　数学实验：常微分方程 138

本章小结 140

习题8 141

第9章 向量与空间解析几何 143

9.1 空间直角坐标系与向量的概念 143

9.1.1 空间直角坐标系 143

9.1.2 向量的概念及其运算 145

9.2　向量的数量积与向量积 148

9.2.1 向量的数量积 148

9.2.2　两向量的向量积 149

9.3　平面方程与空间直线方程 151

9.3.1　平面方程 151

9.3.2　空间直线方程 152

9.4 曲面与空间曲线 154

9.4.1 曲面方程的概念 154

9.4.2　几种常见的二次曲面 155

9.4.3 空间曲线及其在坐标面上的投影 158

9.5　数学实验：向量运算及空间曲面 160

9.5.1 向量的运算 160

9.5.2　空间曲线与曲面 161

本章小结 165

习题9 166

第10章　多元函数的微分学 168

10.1 多元函数的概念：二元函数的极限和连续性 168

10.1.1 多元函数的概念 168

10.1.2　二元函数的极限 169

10.1.3　二元函数的连续性 170

10.2　偏导数 171

10.2.1　偏导数的概念 171

10.2.2　高阶偏导数 173

10.3　全微分 175

10.4 多元复合函数与隐函数的微分法 176

10.4.1 多元复合函数求导法则 176

10.4.2　隐函数的微分公式 177

10.5　偏导数的应用 179

10.5.1　偏导数的几何应用 179

10.5.2　多元函数的极值 181

10.6　数学实验：多元函数微分学 183

10.6.1　二元函数的极限 183

10.6.2　偏导数 184

10.6.3　全微分 184

本章小结 185

习题10 185

第11章　多元函数积分学 187

11.1　二重积分的概念与性质 187

11.1.1　二重积分的概念 187

11.1.2　二重积分的性质 188

11.2　二重积分的计算 189

11.2.1 利用直角坐标系计算二重积分 189

11.2.2　利用极坐标系计算二重积分 192

11.3 二重积分的应用 193

11.3.1 几何应用：求曲顶柱体的体积 193

11.3.2　物理应用 194

11.4　数学实验：多元函数积分学 195

本章小结 195

习题11 196

第12章　无穷级数 198

12.1　数项级数的概念和性质 198

12.1.1　数项级数及其收敛性 198

12.1.2　数项级数的基本性质 201

12.2　正项级数及其判别法 202

12.3　一般项级数 205

12.3.1　交错级数 205

12.3.2　绝对收敛与条件收敛 206

12.4　幂级数 207

12.4.1 函数项级数 207

12.4.2　幂级数及其收敛性 208

12.4.3　幂级数的运算 210

12.4.4　函数的幂级数展开 211

12.4.5　幂级数在近似计算中的应用 215

12.5　傅里叶级数 216

12.5.1 三角级数及三角函数系的正交性 217

12.5.2 以2π为周期的函数展开为三角级数 217

12.5.3　定义在［0，π］上的函数展开为正弦级数与余弦级数 222

12.6　数学实验：无穷级数 223

12.6.1　级数求和 223

12.6.2　将函数在指定点展开成泰勒级数 224

本章小结 225

习题12 225

附录A　Mathematica 5.0简介 227

附录B 习题参考答案或提示 239