复变函数与积分变换

第1章 复数与复变函数 1

1.1复数的概念及运算 1

1.1.1复数及其代数运算 1

1.1.2复数的几何表示 3

1.1.3复数的三角表示与指数表示 4

1.1.4复数的几何意义与复球面 7

1.1.5复数的乘幂与方根 9

1.2复平面上的点集 11

1.2.1复平面上点集的基本概念 11

1.2.2区域、曲线 12

1.3复变函数 13

1.3.1复变函数的概念 13

1.3.2复变函数的极限 14

1.3.3复变函数的连续性 16

第2章 解析函数 18

2.1解析函数的概念 18

2.1.1复变函数的导数与微分 18

2.1.2解析函数的概念 20

2.2解析函数的充要条件 21

2.3初等函数 24

2.3.1指数函数 24

2.3.2对数函数 25

2.3.3乘幂ab与幂函数 26

2.3.4三角函数与双曲函数 27

2.3.5反三角函数 28

第3章 复变函数的积分 30

3.1复变函数积分的概念 30

3.1.1复变函数积分的定义 30

3.1.2复积分的存在条件及计算 31

3.1.3复积分的性质 32

3.2柯西-古萨基本定理与复合闭路定理 33

3.2.1柯西-古萨基本定理 33

3.2.2复合闭路定理 34

3.3原函数与不定积分 35

3.4柯西积分公式 38

3.5解析函数的高阶导数 40

3.6调和函数及其与解析函数的关系 43

第4章 级数 47

4.1复数项级数 47

4.1.1复数列的极限 47

4.1.2复数项级数 48

4.1.3复变函数项级数 50

4.2幂级数 51

4.2.1幂级数的敛散性 52

4.2.2幂级数的运算和性质 54

4.3泰勒级数 56

4.3.1泰勒定理 56

4.3.2一些初等函数的泰勒展开式 58

4.4洛朗级数 60

4.4.1双边幂级数 60

4.4.2洛朗展开定理 61

4.4.3函数在圆环域内展开成洛朗级数的方法 63

第5章 留数及其应用 66

5.1孤立奇点 66

5.1.1孤立奇点的分类 66

5.1.2解析函数极点级别的判断方法 68

5.1.3函数在无穷孤立奇点的性质 70

5.2留数及其计算 72

5.2.1留数与留数定理 72

5.2.2留数的具体计算 73

5.2.3无穷远点处留数 75

5.3留数在定积分计算中的应用 77

5.3.1形如∫2π0R[cosθ， sinθ]dθ的计算 78

5.3.2形如∫+∞-∞R（x）dx积分的计算 79

5.3.3形如∫+∞-∞R（x）eiaxdx（a ＞ 0）积分的计算 81

5.3.4其他综合实例 82

第6章 共形映射 85

6.1共形映射的概念 85

6.1.1解析函数的导数的几何意义 85

6.1.2共形映射的概念 88

6.2分式线性映射 89

6.2.1分式线性映射的概念 89

6.2.2分式线性映射的性质 90

6.3唯一决定分式线性映射的条件 92

6.4几个初等函数所构成的映射 98

6.4.1幂函数w＝zn 98

6.4.2指数函数w ＝ ez 99

第7章 傅里叶变换 101

7.1傅里叶积分与傅里叶变换 101

7.1.1傅里叶级数的复指数形式 101

7.1.2非周期函数的傅里叶积分 102

7.1.3傅里叶积分存在定理 104

7.1.4傅里叶积分的几种形式 104

7.1.5傅里叶变换 106

7.2单位脉冲函数与频谱函数 108

7.2.1单位脉冲函数δ（t）的定义及性质 108

7.2.2周期函数的频谱 114

7.2.3非周期函数的频谱 115

7.3傅里叶变换的性质 117

7.4卷积与卷积定理 125

7.4.1卷积的定义及性质 126

7.4.2卷积定理 127

7.4.3相关函数 128

7.4.4傅里叶变换综合举例 131

第8章 拉普拉斯变换 136

8.1拉普拉斯变换的概念 136

8.1.1拉普拉斯变换的定义 136

8.1.2拉普拉斯变换的存在定理 137

8.1.3周期函数的拉普拉斯变换 140

8.2拉普拉斯变换的性质 143

8.3拉普拉斯逆变换的概念 152

8.4卷积与卷积定理 155

8.4.1拉普拉斯变换意义下的卷积概念 155

8.4.2拉普拉斯变换意义下的卷积定理 156

8.5拉普拉斯变换的应用 157

习题 161

习题答案 183

附录 195

附录Ⅰ 傅里叶变换简表 195

附录Ⅱ拉普拉斯变换简表 198

参考文献 203