线性代数

第1章 行列式 1

1.1行列式 1

1.1.1二阶行列式 1

1.1.2三阶行列式 3

1.1.3全排列及其逆序数 4

1.1.4n阶行列式 6

习题1.1 7

1.2行列式的性质 8

习题1.2 12

1.3行列式的展开定理 13

习题1.3 16

1.4克莱姆法则 17

习题1.4 20

本章小结 20

综合练习一 22

第2章 矩阵 25

2.1矩阵的概念 25

习题2.1 27

2.2矩阵的运算 27

2.2.1矩阵的加法和减法 27

2.2.2数与矩阵的乘法 28

2.2.3矩阵与矩阵的乘法 28

2.2.4矩阵的转置 32

2.2.5方阵的行列式 34

2.2.6共轭矩阵 35

习题2.2 36

2.3逆矩阵 37

习题2.3 42

2.4矩阵的初等变换 43

2.4.1初等变换和初等矩阵 43

2.4.2矩阵的等价 45

2.4.3利用初等变换求逆矩阵 45

习题2.4 50

2.5分块矩阵 51

习题2.5 57

本章小结 58

综合练习二 60

第3章 向量的线性相关性 62

3.1n维向量 62

3.1.1向量的概念 62

3.1.2向量的线性运算 63

习题3.1 64

3.2向量组的线性相关性 64

3.2.1一组向量之间的线性关系 64

3.2.2两组向量之间的线性相关性 67

习题3.2 68

3.3向量组的秩 矩阵的秩 69

3.3.1向量组的秩 69

3.3.2矩阵的秩 70

习题3.3 74

3.4向量空间 75

3.4.1向量空间的概念 75

3.4.2向量空间的基与维数 76

3.4.3向量空间中向量的坐标 77

本章小结 78

综合练习三 79

第4章 线性方程组 81

4.1线性方程组的表示形式 81

4.1.1线性方程组的消元解法 81

4.1.2线性方程组的表示形式与相关概念 82

习题4.1 83

4.2线性方程组解的判定 83

线性方程组解的判定定理 83

习题4.2 84

4.3齐次线性方程组解的结构 85

4.3.1齐次线性方程组解的性质 85

4.3.2齐次线性方程组解的结构 85

习题4.3 89

4.4非齐次线性方程组解的结构 89

4.4.1n元非齐次线性方程组解的性质 89

4.4.2n元非齐次线性方程组解的结构 90

习题4.4 91

本章小结 92

综合练习四 93

第5章 相似矩阵 95

5.1向量的内积、正交，施密特正交规范化 95

5.1.1向量的内积 95

5.1.2正交向量组 96

5.1.3施密特正交化 96

习题5.1 98

5.2矩阵的特征值与特征向量 99

5.2.1特征值与特征向量的概念 99

5.2.2特征值与特征向量的求法 99

5.2.3特征值与特征向量的基本性质 101

习题5.2 102

5.3实对称矩阵的对角化 102

5.3.1相似矩阵 102

5.3.2实对称矩阵的对角化 105

习题5.3 108

本章小结 109

综合练习五 110

第6章 二次型 111

6.1二次型及其矩阵 111

6.1.1二次型的概念 111

6.1.2二次型的矩阵 111

6.1.3矩阵的合同 113

习题6.1 114

6.2化二次型为标准形 114

6.2.1用配方法化二次型为标准形 115

6.2.2用初等变换化二次型为标准形 117

6.2.3用正交变换化二次型为标准形 119

6.2.4二次型与对称矩阵的规范形 122

习题6.2 124

6.3正定二次型 124

6.3.1二次型正定性的概念 124

6.3.2正定矩阵的判别法 125

习题6.3 127

本章小结 128

综合练习六 130

第7章 线性空间与线性变换 131

7.1线性空间的定义与性质 131

7.1.1线性空间的定义 131

7.1.2线性空间的性质 132

7.1.3子空间 133

习题7.1 133

7.2维数、基与坐标 133

习题7.2 135

7.3基变换与坐标变换 135

7.3.1基变换与过渡矩阵 136

7.3.2坐标变换关系式 136

习题7.3 138

7.4线性变换 138

7.4.1线性变换的定义 138

7.4.2线性变换的性质 139

7.4.3线性变换的运算 139

习题7.4 139

7.5线性变换的矩阵表示 140

习题7.5 142

本章小结 143

综合练习七 144

习题参考答案 145