偏微分方程数值解法

第一章 边值问题的变分形式 1

1 二次函数的极值 1

2 两点边值问题 3

2.1 弦的平衡 3

2.2 Sobolev空间Hm(I) 4

2.3 极小位能原理 8

2.4 虚功原理 12

3 二阶椭圆边值问题 14

3.1 Sobolev空间Hm(G) 14

3.2 极小位能原理 15

3.3 自然边值条件 18

3.4 虚功原理 20

4 Ritz-Galerkin方法 21

第二章 椭圆和抛物型方程的有限元法 29

1 两点边值问题的有限元法 29

1.1 从Ritz法出发 30

1.2 从Galerkin法出发 35

2 线性有限元法的误差估计 39

2.1 H1-估计 39

2.2 L2-估计 对偶论证法 41

3 一维高次元 44

3.1 一次元(线性元) 44

3.2 二次元 45

3.3 三次元 47

4 二维矩形元 51

4.1 Lagrange型公式 51

4.2 Hermite型公式 53

5 三角形元 55

5.1 面积坐标及有关公式 56

5.2 Lagrange型公式 57

5.3 Hermite型公式 58

6 曲边元和等参变换 60

7 二阶椭圆方程的有限元法 65

7.1 有限元方程的形成 65

7.2 矩阵元素的计算 66

7.3 边值条件的处理 68

7.4 举例 70

8 收敛阶的估计 75

9 抛物方程的有限元法 78

第三章 椭圆型方程的有限差分法 82

1 差分逼近的基本概念 82

2 两点边值问题的差分格式 86

2.1 直接差分化 86

2.2 积分插值法 89

2.3 边值条件的处理 91

3 二维椭圆边值问题的差分格式 93

3.1 五点差分格式 93

3.2 边值条件的处理 96

3.3 极坐标形式的差分格式 98

4 极值定理 敛速估计 101

4.1 差分方程 101

4.2 极值定理 103

4.3 五点格式的敛速估计 104

5 先验估计 106

5.1 差分公式 107

5.2 若干不等式 108

5.3 先验估计 110

5.4 解的存在惟一性及敛速估计 112

6 有限体积法 113

6.1 三角网的差分格式 113

6.2 有限体积法 117

第四章 抛物型方程的有限差分法 124

1 最简差分格式 124

2 稳定性与收敛性 130

2.1 稳定性概念 130

2.2 判别稳定性的直接估计法 132

2.3 收敛性和误差估计 134

3 Fourier方法 136

4 判别差分格式稳定性的代数准则 141

5 变系数抛物方程 147

6 分数步长法 151

6.1 ADI法 151

6.2 预-校法 154

6.3 LOD法 155

7 有限体积法 156

第五章 双曲型方程的有限差分法 158

1 波动方程的差分逼近 158

1.1 波动方程及其特征 158

1.2 显格式 159

1.3 稳定性分析 161

1.4 隐格式 164

1.5 强迫振动 165

2 一阶双曲型方程组 166

2.1 双曲型方程组 特征概念 166

2.2 Cauchy问题 依存域 影响域 决定域 169

2.3 其他定解问题 171

2.4 拟线性双曲方程组 173

2.5 一维不定常流 175

3 双曲方程差分格式的构造 178

3.1 迎风格式 178

3.2 Lax格式与Box格式 181

3.3 粘性差分格式 Lax-Wendroff格式 183

4 Godunov格式 守恒型格式 单调格式 186

4.1 Godunov格式 186

4.2 守恒型格式 189

4.3 单调格式 190

5 有限体积法 192

第六章 离散化方程的解法 196

1 基本迭代法 196

1.1 离散方程的基本特征 196

1.2 一般迭代法 199

1.3 超松弛法(SOR法) 201

1.4 预处理迭代法 202

2 交替方向迭代法 204

2.1 二维交替方向迭代 205

2.2 三维交替方向迭代 208

3 预处理共轭梯度法 210

3.1 共轭梯度法 210

3.2 预处理共轭梯度法 211

4 多重网格法 215

4.1 二重网格法：差分形式 215

4.2 二重网格法：有限元形式 217

4.3 多重网格法和套迭代技术 220

4.4 推广到多维问题 221

主要参考文献 223