数学物理方程 第2版

目录 1

第1篇　二阶线性常微分方程的级数解及正交多项式 1

第1章　二阶线性常微分方程的级数解 1

1.1　二阶线性常微分方程的奇点 2

1.2　方程常点邻域内的解 2

1.3　方程正则奇点邻域内的正则解 8

1.4　方程非正则奇点邻域内的正则解 15

1.5　方程的常规解和次常规解 16

习题1 19

2.1　斯特姆—刘维（Sturm-Liouville）型方程的本征值问题 21

第2章　常微分方程的本征值问题 21

2.2　斯特姆—刘维型本征值问题的性质 27

习题2 32

第3章　球函数 34

3.1　勒让德多项式 34

3.2　勒让德多项式的微分和积分表达式 39

3.3　勒让德多项式的母函数及递推公式 41

3.4　广义傅里叶级数——按勒让德多项式展开 44

3.5　连带勒让德函数 48

3.6　广义傅里叶级数——按连带勒让德函数展开 53

3.7　一般球函数 55

习题3 58

第4章　柱函数 60

4.1　贝塞尔方程的解 60

4.2　贝塞尔函数及其性质 64

4.3　按贝塞尔函数展开 71

4.4　第三类贝塞尔函数和球贝塞尔函数 77

4.5　虚变量（或变形）贝塞尔函数和贝塞尔函数的渐近公式 81

习题4 88

第5章　正交多项式 91

5.1　厄密多项式 91

5.2　拉盖尔多项式 97

习题5 103

第2篇　数学物理方程 105

第6章　方程的建立和定解问题 108

6.1　数学物理方程的导出 109

6.2　定解条件 123

6.3　定解问题的适定性概念 134

习题6 136

第7章　分离变量法 139

7.1　求解一维波动方程的分离变量法 139

7.2　解齐次定解问题的本征函数展开法 147

7.3　强迫振动——非齐次波动方程的解 150

7.4　非齐次边界条件的处理 154

7.5　用分离变量法解波动方程举例 158

7.6　输运方程分离变量法的解 166

7.7　用分离变量法求解亥姆霍兹方程 182

7.8　用分离变量法解稳定场的方程 185

习题7 208

第8章　积分变换法 213

8.1　傅里叶积分 213

8.2　傅里叶变换 215

8.3　应用傅里叶变换解微分方程 220

8.4　拉普拉斯变换的意义 228

8.5　拉普拉斯变换的存在定理和反演定理 229

8.6　拉普拉斯变换的基本性质 231

8.7　拉普拉斯变换的应用举例 236

8.8　展开定理 247

习题8 257

第9章　波动方程的行波法 260

9.1　一维波动方程的达朗贝尔公式 262

9.2　齐次化原理 273

9.3　三维波动方程的泊松公式 278

9.4　非齐次方程的柯西（初值）问题及克希霍夫公式 285

9.5　用行波法解二维波动方程——柱面波 288

习题9 293

第10章　格林函数法 296

10.1 δ函数的概念及其性质 297

10.2　解初值问题的格林函数法 303

10.3　解边值问题的格林函数法 309

10.4 自由空间泊松方程的格林函数 315

10.5　边值问题的格林函数 318

10.6　无界域的基本解与边值问题的格林函数的关系 323

10.7　用电象法求泊松方程边值问题的格林函数 325

10.8　举例 331

习题10 339

第11章　保角变换法 343

11.1　几种最简单的保角变换、线性变换 344

11.3　分式线性变换下圆的特性，反演点对 345

11.2　分式线性变换 345

11.4　指数变换 347

11.5　对数变换 348

11.6　例题 348

习题11 354

附录A　函数的渐近展开 356

附录B　正交函数系 357

附录C　二阶线性偏微分方程的分类和解的一些性质 360

附录D　傅里叶变换表 366

附录E　拉普拉斯变换表 368

参考文献 371