微积分 上

第1章 极限与连续 1

1.1 数列极限 1

1.1.1 数列极限的定义 2

1.1.2 收敛数列的性质 5

1.1.3 收敛数列的四则运算 7

1.1.4 数列收敛的判别法则 10

1.1.5 自然对数底e 13

习题1.1 14

1.2 函数极限 16

1.2.1 函数在无穷大处的极限 16

1.2.2 函数在一点的极限 18

1.2.3 函数极限与数列极限的关系 21

1.2.4 函数极限的性质和运算 22

1.2.5 函数极限存在判别法 23

1.2.6 两个重要极限 25

1.2.7 无穷大量 27

1.2.8 无穷小量 28

1.2.9 关于“O”和“o” 30

习题1.2 31

1.3 连续函数 33

1.3.1 连续的定义 33

1.3.2 连续函数的性质 35

1.3.3 闭区间上连续函数的性质 39

习题1.3 41

第1章补充习题 43

第2章 一元函数的微分学 45

2.1 导数 45

2.1.1 导数的定义 45

2.1.2 导数的运算 48

2.1.3 求导基本法则和基本公式 53

2.1.4 高阶导数 54

习题2.1 57

2.2 一元函数的微分 60

2.2.1 微分的定义 60

2.2.2 微分运算的基本公式和法则 62

2.2.3 微分的形式不变性 62

习题2.2 63

2.3 Lagrange中值定理，函数的增减与极值 64

2.3.1 Fermat定理和Rolle定理 64

2.3.2 中值定理 66

2.3.3 函数的增减 68

2.3.4 函数的极值 69

习题2.3 70

2.4 Cauchy中值定理和未定式极限 72

2.4.1 Cauchy中值定理和L’Hospital法则 72

2.4.2 未定式的极限 73

习题2.4 77

2.5 函数图形的描绘 78

2.5.1 函数的凹凸和拐点 78

2.5.2 函数的渐近线 80

2.5.3 描绘函数图像的要点 81

习题2.5 83

2.6 Taylor公式 84

2.6.1 Taylor多项式 84

2.6.2 Taylor定理 84

2.6.3 几个基本初等函数的Maclaurin公式 86

习题2.6 89

第2章补充习题 90

第3章 一元函数的不定积分 92

3.1 原函数和不定积分的概念 92

3.1.1 求导的逆运算 92

3.1.2 基本积分公式 94

习题3.1 95

3.2 基本积分方法 95

3.2.1 换元积分法 95

3.2.2 分部积分法 100

习题3.2 103

3.3 有理函数的积分 105

3.3.1 有关多项式的补充知识 105

3.3.2 部分分式法 108

3.3.3 例题 109

3.3.4 三角有理式的积分 112

3.3.5 其他 114

习题3.3 116

第4章 一元函数的定积分 118

4.1 定积分的定义和性质 118

4.1.1 定积分的定义 118

4.1.2 可积函数类 121

4.1.3 Newton-Leibniz公式 123

4.1.4 积分的性质 124

习题4.1 128

4.2 微积分基本定理 130

习题4.2 133

4.3 定积分的换元法和分部积分法 133

4.3.1 定积分的换元法 134

4.3.2 定积分的分部积分法 136

习题4.3 138

4.4 积分近似计算 139

4.4.1 矩形法 140

4.4.2 梯形法 141

4.4.3 抛物线法（Simpson公式） 143

习题4.4 145

4.5 定积分应用举例 145

4.5.1 微元法 145

4.5.2 平面曲线的弧长 147

4.5.3 平面图形的面积 149

4.5.4 旋转体的体积 153

4.5.5 旋转体的侧面积 154

4.5.6 力学应用举例 155

习题4.5 156

4.6 广义积分 158

4.6.1 无穷积分 158

4.6.2 瑕积分 161

4.6.3 广义积分的Cauchy主值 162

习题4.6 163

第4章补充习题 164

第5章 常微分方程 166

5.1 常微分方程的基本概念 166

习题5.1 167

5.2 一阶线性微分方程 167

5.2.1 分离变量型方程 168

5.2.2 齐次方程 169

5.2.3 一阶线性微分方程 173

5.2.4 可降阶的二阶微分方程 177

习题5.2 178

5.3 二阶线性微分方程的一般理论 180

5.3.1 二阶齐次线性方程通解的结构 180

5.3.2 二阶线性非齐次方程通解的结构 185

习题5.3 186

5.4 二阶常系数线性微分方程 187

5.4.1 关于复变量指数函数的注记 187

5.4.2 二阶常系数线性齐次方程 188

5.4.3 二阶常系数线性非齐次方程 190

5.4.4 Euler方程 194

习题5.4 195

5.5 质点的振动 196

5.5.1 自由简谐振动 196

5.5.2 自由阻尼振动 197

5.5.3 无阻尼的强迫振动 199

5.5.4 有阻尼的强迫振动 200

习题5.5 202

5.6 n阶线性微分方程和微分方程组 202

5.6.1 n阶线性方程解的结构 202

5.6.2 n阶常系数齐次线性方程 203

5.6.3 n阶常系数非齐次线性方程 203

5.6.4 Euler方程 206

5.6.5 微分方程组 207

习题5.6 209

第6章 实数集的连续性，函数的可积性 211

6.1 实数集的连续性 211

6.1.1 实数的连续性命题 211

6.1.2 十进小数和有理数集的完备化 216

6.1.3 连续函数的性质 217

习题6.1 219

6.2 可积函数及积分的性质 220

6.2.1 连续函数的可积性 221

6.2.2 可积函数 223

6.2.3 积分的性质 225

习题6.2 230

附录 231

A1 参考答案 231

A2 参考教学进度 245