大学数学基础教程 3 线性代数与空间解析几何

第一章 矩阵 1

1 矩阵的概念 1

一、引例 1

二、矩阵的定义 2

三、特殊矩阵 3

习题一 4

2 矩阵的运算 5

一、矩阵的线性运算 5

二、矩阵的乘法 7

三、矩阵的转置 12

四、矩阵的逆 14

习题二 16

3 分块矩阵及其运算 18

一、分块矩阵的概念 18

二、分块矩阵的运算 19

习题三 22

一、引例 24

1 线性方程组及高斯消元法 24

第二章 线性方程组与矩阵初等变换 24

二、线性方程组 25

三、高斯消元法 26

四、利用矩阵初等行变换解线性方程组 28

五、矩阵的初等列变换 37

习题一 38

2 初等矩阵 39

一、初等矩阵的概念 39

三、逆矩阵定理 41

二、初等矩阵与矩阵初等变换 41

四、利用矩阵初等变换求矩阵的逆 42

习题二 45

第三章 行列式 46

1 n阶行列式的定义 46

一、二阶和三阶行列式 46

二、全排列及其奇偶性 48

三、n阶行列式的定义 49

四、行列式按行(列)展开 51

习题一 54

2 行列式的性质与计算 54

一、行列式的性质 54

二、行列式的计算 56

习题二 60

3 行列式与矩阵的逆 61

一、伴随矩阵与矩阵的逆 61

二、行列式的乘法定理 63

三、克拉默法则 64

习题三 66

4 矩阵的秩 67

一、矩阵秩的概念 67

二、矩阵秩的计算 68

习题四 71

5 应用实例 71

实例一 电路分析中支路电流问题 71

实例二 职工轮训 72

一、空间直角坐标系 73

第四章 空间解析几何与向量运算 73

1 空间直角坐标系与向量 73

二、向量及其线性运算 74

三、向量的分解与向量的坐标 79

习题一 84

2 向量的乘法 84

一、向量的数量积 84

二、向量的向量积 87

三、向量的混合积 89

习题二 91

3 平面 92

一、平面的方程 92

二、两平面间的位置关系 96

习题三 98

4 空间直线 98

一、空间直线的方程 98

二、空间两直线间的位置关系 101

三、空间直线与平面间的位置关系 102

习题四 104

5 曲面与空间曲线 105

一、曲面及其方程 105

二、柱面、锥面、旋转曲面 106

三、二次曲面 109

四、空间曲线及其方程 114

五、空间曲线在坐标面上的投影 115

习题五 117

实例二 地形测量中点的位置的确定 118

6 应用实例 118

实例一 液体流量的计算 118

第五章 n维向量空间 120

1 向量与向量空间 120

一、三维向量空间 120

二、n维向量 121

三、向量空间及其子空间 122

习题一 123

一、向量组的线性组合 124

2 向量组的线性相关性 124

二、向量组的线性相关性 127

习题二 133

3 向量组的秩 133

一、向量组的秩与极大无关组 133

二、向量组极大无关组的性质 136

三、向量空间的基、维数与向量的坐标 137

四、过渡矩阵与坐标变换 140

习题三 143

4 线性方程组解的结构 144

一、齐次线性方程组解的结构 145

二、非齐次线性方程组解的结构 149

习题四 151

第六章 特征值与特征向量 153

1 特征值与特征向量 153

一、特征值与特征向量的概念及性质 153

二、特征值与特征向量的计算 154

一、矩阵相似的概念与性质 159

习题一 159

2 相似矩阵与矩阵的对角化 159

二、矩阵的相似对角化 161

习题二 164

第七章 向量空间的正交性 165

1 向量空间的内积 165

一、引例(三维向量的内积) 165

二、向量的内积及其性质 165

三、向量的正交性 166

四、施密特正交化过程 167

五、正交矩阵 169

习题一 171

2 实对称矩阵的对角化 171

一、实对称矩阵的特征值与特征向量 171

二、实对称矩阵的对角化 172

习题二 175

1 二次型 176

一、二次型的概念 176

第八章 二次型 176

二、二次型的矩阵表示 177

习题一 178

2 二次型的标准形 178

一、二次型的标准形 178

二、用正交变换法化二次型为标准形 180

三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形 182

四、二次曲面的化简 185

一、正定二次型的概念 186

习题二 186

3 正定二次型 186

二、正定二次型的判定 187

习题三 189

4 应用实例 190

实例一 隐性连锁基因问题 190

实例二 最小二乘法 191

习题答案 193

参考文献 205