数学分析方法

第1章 极限 1

1.1 基本理论 1

1.1.1 基本概念 1

1.1.2 基本性质 1

1.1.3 基本结论 2

1.2 典型例题 3

1.2.1 用定义证明极限 3

1.2.2 用罗必达法则求极限 6

1.2.3 用Taylor公式求极限 8

1.2.4 利用初等变换法求极限 9

1.2.5 利用变量替换求极限 9

1.2.6 利用迫敛性求极限 10

1.2.7 利用定积分定义求极限 13

1.2.8 O.Stolz公式 15

1.2.9 利用序列的递推关系求极限 20

1.2.10 求极限的其他几种方法 27

第2章 连续 37

2.1 基本概念 37

2.1.1 在一点连续的三种等价定义 37

2.1.2 左、右连续概念 37

2.1.3 间断点及其分类 37

2.1.4 一致连续概念 37

2.2 基本性质 38

2.2.1 局部性质 38

2.2.2 闭区间上连续函数的基本性质 38

2.3 典型例题 38

2.3.1 连续性的证明 38

2.3.2 函数的一致连续性 42

第3章 一元函数微分学 49

3.1 导数概念及可微性 49

3.1.1 基本概念 49

3.1.2 典型例题 49

3.2 微分中值定理及导数应用 57

3.2.1 导数的两大特征 57

3.2.2 中值定理的应用 59

3.2.3 Taylor公式的应用 64

3.2.4 函数的零点 72

第4章 定积分 75

4.1 基本理论 75

4.2 可积性 76

4.3 积分性质的应用 78

4.4 积分等式的证明 85

4.5 积分估值 87

4.6 积分不等式 91

4.7 定积分计算 96

第5章 级数理论 99

5.1 数项级数 99

5.1.1 基本理论 99

5.1.2 正项级数敛散性判别法 99

5.1.3 任意项级数敛散性判别法 101

5.1.4 典型例题 101

5.2 函数列与函数项级数 111

5.2.1 基本理论 111

5.2.2 分析性质 113

5.2.3 典型例题 114

5.3 幂级数 122

5.3.1 基本理论 122

5.3.2 和函数的分析性质 123

5.3.3 函数的幂级数展开 123

5.3.4 典型例题 123

5.4 Fourier级数 129

5.4.1 基本理论 129

5.4.2 典型例题 131

第6章 多元函数微分学 137

6.1 常见的几种关系 137

6.1.1 二重极限与累次极限之间的关系 137

6.1.2 偏导数与可微之间的关系 137

6.1.3 方向导数与连续，偏导数存在及可微之间的关系 138

6.1.4 混合偏导数之间的关系 138

6.2 典型例题 138

第7章 广义积分 143

7.1 基本概念 143

7.1.1 定义 143

7.1.2 性质 143

7.2 广义积分敛散性判别法 144

7.2.1 基本定理 144

7.2.2 Cauchy收敛准则 144

7.2.3 比较判别法 145

7.2.4 Cauchy判别法 145

7.2.5 Abel判别法 146

7.2.6 Dirichlet判别法 146

7.3 常见的几种关系 147

7.3.1 可积、绝对可积、平方可积之间的关系 147

7.3.2 广义积分与无穷级数之间的关系 147

7.3.3 无穷积分与瑕积分之间的关系 147

7.3.4 无穷积分∫？f(x)dx的收敛性与？f(x)=0之间的关系 148

7.4 广义积分计算与敛散性判别 151

7.4.1 计算 151

7.4.2 广义积分的敛散性判别 155

7.5 Froullani积分 161

7.6 Riemann引理 163

第8章 含参变量积分 165

8.1 含参变量定积分 165

8.1.1 基本理论 165

8.1.2 典型例题 165

8.2 含参变量的广义积分 167

8.2.1 含参变量广义积分的一致收敛性及判别法 167

8.2.2 含参变量广义积分的极限与连续性 168

8.2.3 含参变量广义积分的积分号交换与积分号下求导 168

8.2.4 典型例题 169

第9章 多元函数积分学 175

9.1 重积分 175

9.1.1 基本积分方法 175

9.1.2 典型例题 176

9.2 曲线积分与格林公式 184

9.2.1 基本内容 184

9.2.2 典型例题 186

9.3 曲面积分与高斯公式 190

9.3.1 基本内容 190

9.3.2 典型例题 192

参考文献 195