线性代数 内容、方法与技巧 第2版

第一章　行列式 1

主要内容 1

1．基本概念 1

2．基本理论与方法 2

（1）行列式的性质 2

（2）克拉默（G.Cramer）法则 3

疑难解析 4

方法、技巧与典型例题分析 5

1．选择题 5

2．逆序数的计算 8

3．行列式的计算方法与技巧 9

（1）行列式计算的一题多解 9

（2）有关范德蒙（Vandermonde）行列式的计算 31

（3）与代数余子式有关的计算 36

（4）有关行列式计算的综合例题 38

4．克拉默法则的应用 49

第二章　矩阵及其运算 53

主要内容 53

1．基本概念 53

2．基本理论与方法 54

（1）矩阵的运算及性质 54

（2）矩阵的初等变换与初等方阵 56

（3）可逆矩阵与正交矩阵 57

（4）分块矩阵 58

疑难解析 61

方法、技巧与典型例题分析 64

1．选择题 64

2．矩阵的运算 73

（1）矩阵的运算及性质 73

（2）方阵的行列式 87

（3）矩阵的应用 94

3．逆矩阵的计算方法与技巧 96

（1）逆矩阵的计算 96

（2）用逆矩阵解矩阵方程 102

（3）抽象矩阵的逆矩阵 120

（4）有关正交矩阵的性质与逆矩阵 128

（5）分块矩阵的逆矩阵 129

第三章　线性方程组 136

主要内容 136

1．基本概念 136

（1）矩阵的秩 136

（2）向量组的线性相关性 136

（3）线性方程组的向量表示、相容和基础解系 138

（4）向量空间 139

2．基本理论与方法 141

（1）矩阵秩的性质与求法 141

（2）向量组的线性相关性 143

（3）线性方程组的解与基础解系 145

（4）向量空间 147

疑难解析 148

方法、技巧与典型例题分析 154

1．选择题 154

（1）矩阵的秩的性质 154

（2）向量组的线性表示与线性相关性 159

（3）线性方程组的解与基础解系 171

2．矩阵的秩 180

3．向量组的线性相关性 184

（1）线性表示与线性组合 184

（2）线性相关性的判断 198

（3）向量组与矩阵的秩 210

4．线性方程组的解法、基础解系及其理论与应用 218

（1）含参数的线性方程组的解法 218

（2）线性方程组的基础解系 246

（3）有关线性方程组理论的综合题 254

（4）线性方程组的应用 261

5．向量空间 266

（1）向量空间的检验方法 266

（2）向量空间的基、维数、坐标的求法 267

（3）向量的内积与正交化方法 272

第四章　矩阵的特征值、二次型 277

主要内容 277

1．基本概念 277

（1）矩阵的特征值 277

（2）矩阵的对角化 278

（3）二次型 278

（4）正定矩阵 279

2．基本理论与方法 280

（1）矩阵的特征值 280

（2）矩阵的对角化 281

（3）化二次型为标准形的方法 283

（4）正定矩阵 283

疑难解析 285

方法、技巧与典型例题分析 289

1．选择题 289

2．矩阵的特征值 297

（1）特征值与特征向量的求法 297

（2）已知矩阵的特征值，计算（或证明）与矩阵有关的问题 313

（3）哈密尔顿-凯莱定理的应用 320

3．矩阵的对角化 322

（1）相似矩阵的判别方法 322

（2）方阵与对角矩阵相似的判别方法 325

（3）可对角化矩阵的应用 351

4．二次型 373

（1）二次型的矩阵表示及其秩 373

（2）化二次型为标准形 379

5．正定矩阵 398

（1）正定矩阵、正定二次型的判定 398

（2）有关正定矩阵性质的问题 406

第五章　线性变换 412

主要内容 412

1．基本概念 412

（1）线性变换 412

（2）过渡矩阵 412

2．基本理论与方法 414

（1）线性变换的性质 414

（2）线性变换的运算 414

（3）线性变换在一组基下矩阵的求法 415

疑难解析 416

方法、技巧与典型例题分析 417

1．线性变换及其运算 417

（1）线性变换的检验 417

（2）有关线性变换性质的问题 421

2．线性变换与矩阵 422

（1）过渡矩阵的求法 422

（2）线性变换在一组基下的矩阵的求法 427

（3）线性变换的和、乘积及逆在某组基下矩阵的求法 439