吉米多维奇数学分析习题集学习指引 第1册

第一章 分析引论 1

1.1 实数（习题1-40） 1

1.1.1 数学归纳法（习题1-10） 1

1.1.2 有理数集的分割（习题11-13） 7

1.1.3 确界的定义与性质（习题15-20） 8

1.1.4 含有绝对值的不等式（习题21-30） 11

1.1.5 绝对误差和相对误差（习题31-40） 13

1.1.6 补注（习题5,14） 14

1.2 数列理论（习题41-150） 22

1.2.1 极限的定义与计算（习题41-57） 22

1.2.2 几个极限证明题（习题58-68） 24

1.2.3 与数e有关的习题（习题69-75(a),146-147） 27

1.2.4 单调有界数列收敛定理（习题77-81） 33

1.2.5 柯西收敛准则（习题82-88） 35

1.2.6 子列、聚点与上下极限（习题89-134） 38

1.2.7 柯西命题和施托尔茨定理（习题138-145） 50

1.2.8 迭代生成的数列（习题148-150） 53

1.2.9 补注（习题76,75(b),136-137,135） 57

1.3 函数的概念（习题151-236） 65

1.3.1 关于函数概念的基本训练（习题151-196） 65

1.3.2 拟合与插值（习题197-202） 67

1.3.3 复合函数（习题203-213.2） 68

1.3.4 单调性、反函数和奇偶性（习题214-232） 69

1.3.5 周期函数（习题233-236） 70

1.3.6 补注 73

1.4 函数的图像表示（习题237-380） 75

1.4.1 有理函数的图像（习题237-265） 75

1.4.2 无理函数、幂函数和初等超越函数的图像（习题266-324.2） 77

1.4.3 关于图像运算的一般规律（习题325-367） 81

1.4.4 反函数、用参数表示的函数和隐函数的图像（习题368-370.2） 85

1.4.5 极坐标系中的函数图像（习题371.1-371.3） 91

1.4.6 用函数图像求方程（组）的近似解（习题372-380） 94

1.4.7 补注 94

1.5 函数的极限（习题381-644） 97

1.5.1 有界性、确界和振幅（习题38-400） 97

1.5.2 函数极限的定义（习题401-407） 99

1.5.3 有理函数的极限计算（习题408-434） 100

1.5.4 无理函数的极限计算（习题435-470） 105

1.5.5 初等超越函数的极限计算（习题471-591,602,604-605） 111

1.5.6 杂题（习题592-601,603,613-636,641-644） 120

1.5.7 补注（习题606-612,637-640） 123

1.6 符号O（习题645-661） 136

1.7 函数的连续性（习题662-758） 141

1.7.1 连续性的定义（习题662-674） 141

1.7.2 连续性分析与作图（习题675-733） 146

1.7.3 连续函数的局部性质（习题734-747,749-750） 149

1.7.4 连续函数的整体性质（习题751,753-757） 156

1.7.5 补注（习题748,752,758） 159

1.8 反函数．由参数方程确定的函数（习题759-784） 165

1.8.1 反函数的存在性（习题759-766） 165

1.8.2 反函数的单值连续分支（习题767-779） 169

1.8.3 由参数方程确定的函数（习题780-784） 174

1.9 函数的一致连续性（习题785-808） 176

1.10 函数方程（习题809-820） 185

1.10.1 柯西方法（习题809-820） 185

1.10.2 补注 193

第二章 一元微分学 197

2.1 显函数的导数（习题821-1033） 197

2.1.1 导数的定义（习题821-833） 197

2.1.2 导数的计算（习题834-989） 199

2.1.3 杂题（习题990-1023） 205

2.1.4 应用题（习题1024-1033） 211

2.2 反函数、用参数表示的函数和隐函数的导数（习题1034-1054） 216

2.2.1 反函数的导数（习题1034-1037） 216

2.2.2 用参数表示的函数的导数（习题1038-1047） 218

2.2.3 隐函数的导数（习题1048-1054） 220

2.3 导数的几何意义（习题1055-1082） 222

2.4 函数的微分（习题1083-1110） 227

2.5 高阶导数和微分（习题1111-1234） 232

2.5.1 显函数的高阶导数和微分的计算（习题1111-1139） 232

2.5.2 非显函数的高阶导数和微分的计算（习题1140-1150） 234

2.5.3 应用题（习题1151-1155） 236

2.5.4 高阶导数与微分计算（续）（习题1156-1185） 236

2.5.5 n阶导数与微分计算（习题1186-1234） 241

2.6 罗尔定理．拉格朗日定理和柯西定理（习题1235-1267） 252

2.6.1 罗尔定理（习题1235-1243） 252

2.6.2 拉格朗日中值定理（习题1244-1251） 257

2.6.3 柯西中值定理（习题1252-1253） 261

2.6.4 中值定理的其他应用（习题1254-1265） 262

2.6.5 补注（习题1266-1267） 269

2.7 函数的递增与递减．不等式（习题1268-1297） 274

2.7.1 单调性分析（习题1268-1287） 274

2.7.2 不等式（习题1288-1295,1297） 282

2.7.3 补注（习题1296） 288

2.8 凹凸性．拐点（习题1298-1317） 291

2.8.1 凹凸性分析（习题1298-1310,1313） 292

2.8.2 与凹凸性有关的一些证明题（习题1311-1312,1314-1317） 294

2.8.3 补注 298

2.9 不定式极限（习题1318-1375） 305

2.9.1 不定式计算Ⅰ（习题1318-1338,1358-1360,1367,1368(b)） 306

2.9.2 不定式计算Ⅱ（习题1339-1357,1361-1366,1368(a),1369-1370） 311

2.9.3 杂题（习题1371-1375） 316

2.9.4 补注 320

2.10 泰勒公式（习题1376-1413） 323

2.10.1 泰勒公式计算（习题1376-1392） 324

2.10.2 若干证明题（习题1393） 330

2.10.3 近似计算与误差估计（习题1394-1397） 333

2.10.4 局部泰勒公式的一些应用（习题1398-1413） 336

2.11 函数的极值．函数的最大值和最小值（习题1414-1470） 340

2.11.1 极值的研究（习题1414-1428） 340

2.11.2 极值、最值和确界的计算（习题1429-1455） 344

2.11.3 不等式证明（习题1456） 347

2.11.4 偏差计算（习题1457-1461） 349

2.11.5 根的个数问题（习题1462-1470） 351

2.11.6 补注 355

2.12 根据特征点作函数图像（习题1471-1555） 358

2.12.1 有理函数的图像（习题1471-1483） 358

2.12.2 无理函数与初等超越函数的图像（习题1484-1530） 360

2.12.3 参数方程与隐函数方程表示的曲线（习题1531-1545） 364

2.12.4 极坐标系中的函数图像（习题1546-1550） 369

2.12.5 曲线族的图像（习题1551-1555） 372

2.12.6 补注 373

2.13 函数的极大值和极小值问题（习题1556-1590） 375

2.14 曲线相切．曲率圆．渐屈线（习题1591-1616） 386

2.15 方程的近似解（习题1617-1627） 392

附录一 1.4的图像参考答案 397

附录二 2.12的图像参考答案 421

附录三 命题索引 429

参考文献 430