随机场 分析与综合 修订扩展版

第1章 绪论 1

1.1 应用范围 1

1.2 简要回顾 4

1.3 局部平均及其极值 7

第2章 随机场分析基础 11

2.1 随机场的类型 11

2.2 概率基本描述 15

初等概率论概述 15

随机变量 17

概念推广至随机场 20

随机变量的变换 20

2.3 期望与条件期望 26

单个随机变量的期望 26

涉及两个随机变量的期望 28

随机向量的协方差矩阵 29

协方差、相关函数和互协方差函数 30

涉及多个随机变量的期望 31

条件期望 32

几何平均及其相关统计量 33

2.4 特征函数 33

特征函数 33

累积量函数 35

2.5 高斯及其相关的概率分布 36

高斯（或正态）分布 36

多维高斯分布 37

条件高斯分布 40

对数正态分布 41

随机距离的分布 43

中心极限定理 43

2.6 最优线性预测与更新 44

经典估计问题 44

二元线性估计 47

多元线性估计 48

2.7 纯随机场和马尔可夫过程 49

纯随机场 50

涉及独立增量之和的随机场 52

泊松过程及其相关随机场 55

马尔可夫过程与扩散理论 57

2.8 基于量子物理的新型概率分布 60

“量子质量比”的统计及其对数 60

“量子尺寸比”的统计量 66

相关概率模型族 67

第3章 均匀随机场的二阶分析 69

3.1 引言、概念与符号 69

随机场的二阶描述 69

低维随机场（或随机过程） 70

象限对称性 70

谱密度和相关函数的矩 70

3.2 均匀随机场的相关函数 71

基本性质和对称性 71

象限对称性 72

象限对称协方差函数的几个重要类型 72

两个耦合随机场的互协方差函数 74

3.3 一维随机过程的谱表示 74

引言 74

Wiener-Khinchine关系 75

单边谱密度函数 76

累积谱与标准化谱 77

更规范的谱表示 78

互谱 79

离散参数随机过程的谱 79

3.4 均匀随机场的谱分析 82

二维问题 82

Wiener-Khinchine关系 83

象限对称情况 84

方向依赖的一维随机波动 85

累积谱和标准化谱 85

几类特殊情形 86

向多维情形的推广 88

3.5 不变线性系统的输入-输出关系 92

系统描述 92

线性系统的均匀随机响应 93

网格系统的类似结果 96

3.6 随机场的导数和局部积分 97

偏导数的统计量 97

均方可微条件 99

随机场的局部积分 101

网格场的类似结果 104

3.7 移动平均和自回归模型 105

一维自回归（马尔可夫）相关模型 105

空间上的一阶自回归模型 106

高阶自回归马尔可夫模型 108

线性振子在白噪声激励下的响应 108

直线上的移动平均相关模型 109

矩形域、球域和椭圆域内的移动平均 110

自回归移动平均模型 111

3.8 空间-时间相关结构：基本关系 111

二阶统计量 111

依赖于频率的空间相关函数 112

二阶分析的四种形式 113

依赖于频率的波数谱 114

象限对称的情形 114

关于圆和球谐函数的说明 115

第4章 谱参数，水平穿越与极值 117

4.1 谱矩及相关参数 117

一维谱参数的定义 117

谱分布函数的边界 119

S（ω1，ω2）的联合谱矩 119

n维随机场的联合谱矩 121

4.2 偏微分的统计量 122

4.3 基本包络统计量 124

一维包络的两种定义 125

一维包络统计量 126

n维高斯随机场的包络 127

4.4 阈值穿越统计与极值 130

平均阈值穿越率 130

局部极大值的平均出现率及其概率分布 130

在阈值上/下的平均停留时间 132

包络穿越统计量 133

阈值穿越与局部极大值的成丛性 134

极大值的概率分布 135

4.5 穿越区域的期望大小 137

二维情形 138

多维情形 139

4.6 水平穿越和极值的统计量 140

高界限值的局部极大值的平均出现率 141

成丛趋势因子 142

随机场的最大值的概率分布 143

4.7 通用相关模型的谱参数 144

低通白噪声 145

具有随机相位角的正弦波 145

有限带宽分形噪声或1/f噪声 146

一族自回归相关模型 147

白噪声激励下简谐振子的响应 148

指数衰减型谱密度函数 149

4.8 在非均匀随机场中的推广 150

第5章 一维局部平均过程 153

5.1 方差函数和涨落尺度 153

方差函数 153

涨落尺度 156

方差函数的另一种形式 158

方差函数的若干解析模型 159

方差函数的推荐近似表达式 160

历史注释 161

5.2 涨落尺度的频域解释 161

γ（T）和g（ω）之间的关系 161

频率原点附近g（ω）的特点 162

两族相关模型的结果 163

“θ=0”的窄带过程的方差函数 165

5.3 局部积分或局部平均的协方差 167

局部积分的代数关系 167

局部积分或局部平均之间的相关性 168

点值与局部平均之间的协方差 170

按局部平均进行分解 171

局部平均过程的协方差函数 172

5.4 均方导数和谱矩 173

均方导数的存在性 173

局部平均过程的均方导数 174

谱矩和谱带宽 176

5.5 水平穿越与极值统计量 178

平均上穿率 179

极值分布 179

水平穿越的其他统计量 180

5.6 不变性与再生性 180

线性变换的不变性 180

局部平均的不变性 181

再生性 182

白噪声和泊松过程的相关结果 183

5.7 随机序列和点过程的类似结果 184

随机序列：方差函数 184

涨落尺度 185

移动平均的协方差 185

5.8 涨落尺度在最优采样中的作用 186

5.9 复合随机过程与尺度谱 188

基本关系 188

复合随机过程模型的推广 190

尺度谱 191

第6章 二维局部平均过程 195

6.1 方差函数和相关性测度 195

s（ω1，ω2）在频域零点附近的特征 197

单向随机波动 199

6.2 重要特例 200

相关结构象限对称 200

相关结构可分 200

各向同性相关结构 201

椭圆相关结构 202

6.3 条件方差函数和涨落尺度 203

条件方差函数 203

条件涨落尺度 204

更为严谨的二阶描述 208

6.4 局部平均的协方差 210

随机有限元分析 211

局部平均的协方差函数 212

联合谱矩 214

6.5 水平穿越和极值的统计量 215

方向依赖的局部平均过程的水平穿越 215

穿越高阈值的区域平均大小 216

超过高阈值水平的局部最大值的平均出现率 217

6.6 二维均匀随机场的不变量 217

线性变换的不变性 217

空间局部平均下的不变性 218

二维白噪声 218

6.7 空间-时间过程：频率依赖的涨落尺度 219

背景 219

频率依赖的空间涨落尺度 220

物理解释 221

频率依赖的空间涨落尺度的性质 222

二维空间-时间相关结构举例 224

6.8 空间-时间过程：频率依赖的方差函数 226

第7章 多维局部平均过程 229

7.1 方差函数与相关性测度 230

低阶相关性测度 233

三维情形 233

线性变换下的不变性 235

复合随机场和多尺度随机场 236

7.2 条件方差函数和相关性测度 237

相关涨落尺度 238

向n维随机场的推广 240

相关结构的极限形式 241

7.3 频率依赖的空间变异性 242

频率依赖的空间相关性测度 243

频率依赖的相关性测度的函数形式 244

频率依赖的方差函数 246

7.4 几类易于处理的空间-时间相关模型 248

三维空间-时间过程族 248

四维空间-时间过程族 249

7.5 局部平均的协方差 250

一般关系式 250

三维情形 251

局部平均场的协方差函数 252

7.6 随机有限元分析 253

最佳线性估计 254

7.7 局部平均场的偏导数 256

三维情形 256

n维情形 257

7.8 高阈值穿越与极值的统计 258

五步推导 258

高斯随机场 259

Rayleigh包络场 260

关于极大值的Gumbel分布 260

多尺度随机场的极值 261

第8章 总结 263

引言 263

定义和记号 264

谱带宽因子 265

阈值穿越与极值统计量 266

一维随机过程的局部平均理论 266

均匀随机场的局部平均理论 268

重要的有关概念和方法 269

基于量子物理的随机变量和随机场 271

参考文献 273

索引 283