高等代数思想方法解析

上篇——思想方法 2

第1章 符号化思想 2

1.1符号化 3

1.2代数学中的符号化历程 5

第2章 转化与化归思想 9

2.1化归思想的简要回顾 9

2.2多项式中的转化与化归 11

2.3多项式的求根问题 14

2.4线性代数与行列式和矩阵 17

第3章 公理化与形式化 20

3.1公理化方法 20

3.2公理化方法的意义和作用 22

3.3形式化思想 23

3.4高等代数中公理化方法的应用 25

第4章 结构思想 27

4.1代数结构 27

4.2集合与映射 29

4.3向量空间的同构 30

下篇——问题解析 35

第5章 一元多项式 35

5.1一元多项式的定义和运算 35

5.2多项式的整除性 37

5.3多项式的最大公因式 40

5.4多项式的因式分解 46

5.5重因式 48

5.6多项式函数以及多项式的根 51

5.7复数和实数域上的多项式 54

5.8有理数域上的多项式 56

5.9多项式综合练习题 58

第6章 行列式 63

6.1排列 63

6.2 n阶行列式的定义和性质 64

6.3行列式的依行或依列展开 66

6.4克莱姆法则 76

6.5行列式综合练习题 77

第7章 线性方程组 82

7.1消元法 82

7.2矩阵的秩及线性方程组可解的判别法 88

7.3线性方程组的公式解 92

7.4线性方程组综合练习题 94

第8章 矩阵 100

8.1矩阵的运算及其性质 100

8.2可逆矩阵与矩阵乘积的行列式 104

8.3求逆矩阵的方法 108

8.4几种特殊的矩阵 111

8.5矩阵的分块 113

8.6矩阵综合练习题 118

第9章 二次型 126

9.1二次型与对称矩阵 126

9.2化二次型为标准形 130

9.3复数域和实数域上的二次型 134

9.4正定二次型及其性质 139

9.5二次型综合练习题 144

第10章 向量空间 153

10.1向量空间的定义和性质 153

10.2向量的线性相关性 154

10.3基与维数 160

10.4子空间 162

10.5坐标及其变换 165

10.6向量空间的同构 169

10.7矩阵秩的几何意义 170

10.8线性方程组解的结构 172

10.9向量空间综合练习题 175

第11章 线性变换 179

11.1线性变换的概念和性质 179

11.2线性变换的运算 181

11.3线性变换与矩阵 183

11.4不变子空间 190

11.5特征值与特征向量 192

11.6矩阵可对角化的条件 199

11.7线性变换综合练习题 205

第12章 欧氏空间和酉空间 213

12.1欧氏空间的定义和性质 213

12.2标准正交基 217

12.3正交子空间 221

12.4正交变换 224

12.5对称变换和对称矩阵 227

12.6主轴问题 234

12.7酉空间 237

12.8欧氏空间和酉空间综合练习题 238

参考文献 249