组合数学

第一章 排列和组合 1

第一节 计数的基本原则 1

一、相等原则 1

二、加法原则 2

三、乘法原则 3

第二节 排列 5

一、n元集的r-排列 5

二、n元集的r-可重复排列 6

三、多重集的排列 7

第三节 T路的计数 9

一、T路 9

二、反射原理 11

三、Catalan（卡塔兰）数 13

第四节 组合 15

一、n元集的r-组合 15

二、n元集的r-可重复组合 18

三、组合数的基本性质 20

四、多项式定理 22

五、组合恒等式 24

第五节 二项式反演公式 29

一、二项式反演公式 29

二、有限集的覆盖 32

三、多元二项式反演公式 34

习题一 37

第二章 容斥原理及其应用 44

第一节 容斥原理 44

一、容斥原理 44

二、容斥原理的符号形式 51

三、容斥原理的一般形式 54

第二节 容斥原理的应用 56

一、重排问题 56

二、夫妻问题 58

三、不含连续数对的排列问题 60

四、一个涉及整除的计数问题 61

五、Euler函数ψ（n）的计数公式 62

六、关于质数个数的计数 63

习题二 64

第三章 递推关系 67

第一节 差分 67

一、差分 67

二、牛顿公式 69

三、多项式的差分 73

四、零的差分 77

第二节 递推关系 80

一、递推关系的建立和迭代解法 80

二、常系数线性齐次递推关系 83

三、特征方程没有重根的常系数线性齐次递推关系的解法 84

四、特征方程有重根的常系数线性齐次递推关系的解法 88

五、两类常系数线性非齐次递推关系的解法 90

第三节 Fibonacci数 95

一、Fibonacci数 95

二、Fibonacci数的性质 96

第四节 两类Stirling数 102

一、第一类Stirling数 102

二、S1（n，k）的组合意义 104

三、第二类Stirling数 106

四、S2（n，k）的组合意义 111

习题三 112

第四章 生成函数 118

第一节 常生成函数及其应用 118

一、形式幂级数 118

二、常生成函数 123

三、常生成函数的应用 126

第二节 车问题 133

一、车问题 133

二、车多项式 134

三、有禁位排列 138

四、命中多项式 139

第三节 指数生成函数及其应用 143

一、指数生成函数 143

二、指数生成函数的应用 144

习题四 148

第五章 整数的分拆 152

第一节 分拆的计数 152

一、关于Pr（n）的递推公式 152

二、P3（n）的计数公式 156

三、生成函数在分拆计数中的应用 159

四、Ferrer图在分拆计数中的应用 164

第二节 完备分拆 169

一、完备分拆 169

二、部分数最小的完备分拆 172

习题五 175

第六章 鸽笼原理和Ramsey定理 178

第一节 鸽笼原理 178

一、鸽笼原理的简单形式 178

二、鸽笼原理的一般形式 181

三、鸽笼原理的加强形式 183

第二节 Ramsey定理 184

一、完全图Kn的边着色 184

二、Ramsey定理 186

三、Ramsey数 190

四、Ramsey定理的应用 193

习题六 196

第七章 Polya计数定理 199

第一节 关系和群 199

一、关系 199

二、群 201

三、置换群 207

第二节 置换群的轮换指标 210

一、置换群的轮换指标 210

二、正n边形的旋转群导出的置换群的轮换指标 212

三、正多面体的旋转群导出的置换群的轮换指标 219

第三节 Burnside引理 226

一、群对集合的作用 226

二、Burnside引理 227

第四节 环排列 233

一、两类环排列 233

二、r元集的n-可重复环排列 235

三、多重集的环排列 238

第五节 Polya计数定理 242

一、Polya定理 242

二、Polya定理的推广 248

习题七 258

习题答案 262

参考文献 270