微积分

第1章 函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 区间与邻域 2

习题1.1 3

1.2 映射与函数 3

1.2.1 映射 3

1.2.2 函数 5

1.2.3 函数的几个特性 7

习题1.2 10

1.3 复合函数与反函数、初等函数 11

1.3.1 复合函数 11

1.3.2 反函数 11

1.3.3 初等函数 12

习题1.3 15

1.4 函数关系的建立 15

习题1.4 16

1.5 经济学中的常用函数 17

1.5.1 成本函数、收益函数和利润函数 17

1.5.2 需求函数与供给函数 18

习题1.5 19

复习题1 19

第2章 极限与连续 21

2.1 数列的极限 21

2.1.1 数列 21

2.1.2 数列的极限 22

2.1.3 收敛数列的性质 24

习题2.1 26

2.2 函数的极限 27

2.2.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 27

2.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限 28

2.2.3 函数极限的性质 31

习题2.2 32

2.3 无穷小与无穷大的概念 33

2.3.1 无穷小与无穷大 33

2.3.2 无穷小的性质 35

习题2.3 36

2.4 极限的运算法则 37

2.4.1 极限的四则运算法则 37

2.4.2 复合函数的极限运算法则 40

习题2.4 41

2.5 极限存在的准则与两个重要极限 42

2.5.1 极限存在的两个准则 42

2.5.2 两个重要极限 43

2.5.3 连续复利 48

习题2.5 49

2.6 无穷小的比较 50

习题2.6 52

2.7 函数的连续性 52

2.7.1 函数的连续性 52

2.7.2 函数的间断点 54

习题2.7 56

2.8 连续函数的运算与初等函数的连续性 56

2.8.1 连续函数的和、差、积及商的连续性 56

2.8.2 反函数与复合函数的连续性 57

2.8.3 初等函数的连续性 58

习题2.8 60

2.9 闭区间上连续函数的性质 60

2.9.1 有界性与最大值最小值定理 61

2.9.2 零点定理与介值定理 61

2.9.3 均衡价格的存在性 62

习题2.9 63

复习题2 63

第3章 导数与微分 65

3.1 导数概念 65

3.1.1 引例 65

3.1.2 导数的定义 66

3.1.3 导数的几何意义 69

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系 69

习题3.1 70

3.2 函数的求导法则 71

3.2.1 导数的和、差、积、商的求导法则 71

3.2.2 反函数的求导法则 72

3.2.3 复合函数的求导法则 73

3.2.4 基本求导公式与求导法则 75

习题3.2 76

3.3 高阶导数 78

习题3.3 81

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 82

3.4.1 隐函数的求导法则 82

3.4.2 对数求导法 83

3.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 84

习题3.4 85

3.5 函数的微分及其应用 86

3.5.1 微分的定义 87

3.5.2 微分的几何意义 88

3.5.3 基本微分公式与运算法则 89

3.5.4 微分在函数近似计算中的应用 91

习题3.5 92

复习题3 93

第4章 微分中值定理与导数的应用 95

4.1 微分中值定理 95

4.1.1 罗尔定理 95

4.1.2 拉格朗日中值定理 96

4.1.3 柯西中值定理 98

习题4.1 99

4.2 洛必达法则 100

4.2.1 0/0与∞/∞型未定式 100

4.2.2 其他类型未定式 103

习题4.2 105

4.3 函数的单调性 106

习题4.3 108

4.4 曲线的凹凸性与拐点 109

习题4.4 112

4.5 函数的极值与最大值、最小值 112

4.5.1 函数的极值及其求法 112

4.5.2 函数的最大值、最小值 116

习题4.5 119

4.6 函数图形的描绘 120

4.6.1 渐近线 120

4.6.2 函数作图 121

习题4.6 123

4.7 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析 123

4.7.1 边际概念 123

4.7.2 经济学中常见的边际函数 124

4.7.3 弹性的概念 127

4.7.4 经济学中常见的弹性函数 128

习题4.7 132

4.8 泰勒公式 133

4.8.1 泰勒中值定理的引入 133

4.8.2 泰勒中值定理 134

习题4.8 137

复习题4 137

第5章 不定积分 140

5.1 不定积分的概念与性质 140

5.1.1 原函数的概念 140

5.1.2 不定积分的概念 141

5.1.3 基本积分表 141

5.1.4 不定积分的性质 142

习题5.1 144

5.2 换元积分法 145

5.2.1 第一类换元法 145

5.2.2 第二类换元法 150

习题5.2 154

5.3 分部积分法 156

习题5.3 159

5.4 有理函数的积分 159

5.4.1 有理函数的积分 159

5.4.2 可化为有理函数的积分举例 162

习题5.4 164

5.5 积分表的使用 164

5.5.1 在积分表中能直接查到的积分 164

5.5.2 先变量替换，再查表的积分 165

5.5.3 可用递推公式的积分 165

习题5.5 166

复习题5 166

第6章 定积分及其应用 168

6.1 定积分的概念与性质 168

6.1.1 两个引例 168

6.1.2 定积分的定义 170

6.1.3 定积分的性质 172

习题6.1 175

6.2 微积分基本公式 175

6.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数的关系 175

6.2.2 牛顿－莱布尼茨公式 176

6.2.3 积分上限函数及其导数 178

习题6.2 180

6.3 定积分的换元积分法与分部积分法 181

6.3.1 定积分的换元积分法 181

6.3.2 定积分的分部积分法 185

习题6.3 186

6.4 反常积分 187

6.4.1 无穷限的反常积分 188

6.4.2 无界函数的反常积分 190

习题6.4 192

6.5 定积分的几何应用 192

6.5.1 定积分的元素法 192

6.5.2 平面图形的面积 193

6.5.3 体积 197

习题6.5 199

6.6 定积分在经济学中的应用 200

习题6.6 202

复习题6 202

第7章 多元函数微分学 205

7.1 空间解析几何简介 205

7.1.1 空间直角坐标 205

7.1.2 曲面及其方程 207

习题7.1 212

7.2 多元函数的基本概念 212

7.2.1 多元函数的概念 212

7.2.2 二元函数的极限 215

7.2.3 二元函数的连续性 216

习题7.2 218

7.3 偏导数 219

7.3.1 偏导数的定义及其计算法 219

7.3.2 高阶偏导数 222

习题7.3 224

7.4 全微分 225

7.4.1 全微分的定义 225

7.4.2 可微的条件与全微分的计算 226

7.4.3 全微分在近似计算中的应用 227

习题7.4 228

7.5 多元复合函数的求导法则 228

7.5.1 一元函数与多元函数复合的情形 228

7.5.2 多元函数与多元函数复合的情形 229

7.5.3 全微分形式不变性 231

习题7.5 232

7.6 隐函数的求导公式 233

7.6.1 由一个方程所确定的隐函数 233

7.6.2 由方程组所确定的隐函数 236

习题7.6 238

7.7 多元函数的极值 239

7.7.1 多元函数的极值 239

7.7.2 多元函数的最大值与最小值 241

7.7.3 条件极值——拉格朗日乘数法 243

习题7.7 246

7.8 方向导数与梯度 246

7.8.1 方向导数 246

7.8.2 梯度 247

习题7.8 249

7.9 二元函数的泰勒公式 250

习题7.9 252

复习题7 252

第8章 重积分 255

8.1 二重积分的概念与性质 255

8.1.1 二重积分的概念 255

8.1.2 二重积分的性质 257

习题8.1 259

8.2 二重积分的计算 260

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 260

8.2.2 利用极坐标计算二重积分 264

8.2.3 二重积分一般的变量置换 267

8.2.4 二重积分的应用 268

习题8.2 269

复习题8 270

第9章 无穷级数 272

9.1 常数项级数的概念和性质 272

9.1.1 常数项级数的概念 272

9.1.2 收敛级数的基本性质 274

习题9.1 277

9.2 常数项级数的审敛法 277

9.2.1 正项级数及其审敛法 277

9.2.2 交错级数及其审敛法 282

9.2.3 绝对收敛与条件收敛 283

习题9.2 284

9.3 幂级数 285

9.3.1 函数项级数的概念 285

9.3.2 幂级数及其收敛性 286

9.3.3 幂级数的运算性质 290

习题9.3 291

9.4 函数展开成幂级数 292

9.4.1 泰勒级数 292

9.4.2 直接展开法 293

9.4.3 间接展开法 295

习题9.4 296

9.5 幂级数的应用 297

9.5.1 函数值的近似计算 297

9.5.2 计算定积分 298

9.5.3 求常数项级数的和 298

习题9.5 299

复习题9 299

第10章 微分方程 301

10.1 微分方程的基本概念 301

10.1.1 引例 301

10.1.2 微分方程的一般概念 302

习题10.1 304

10.2 可分离变量微分方程 304

习题10.2 305

10.3 齐次微分方程 306

10.3.1 齐次微分方程 306

10.3.2 可化为齐次方程的微分方程 309

习题10.3 310

10.4 一阶线性微分方程 311

10.4.1 一阶线性微分方程 311

10.4.2 伯努利方程 314

习题10.4 315

10.5 可降阶的高阶微分方程 315

10.5.1 形如y″=f（x）的方程 316

10.5.2 形如y″=f（x，y′）的方程 316

10.5.3 形如y″=f（y，y′）的方程 317

习题10.5 318

10.6 二阶常系数线性微分方程 319

10.6.1 二阶常系数线性齐次微分方程 319

10.6.2 二阶常系数线性非齐次微分方程 321

习题10.6 325

10.7 微分方程在经济学中的简单应用 325

10.7.1 经济增长模型 326

10.7.2 索洛（Solow）经济增长模型 326

10.7.3 价格调整模型 327

习题10.7 328

10.8 差分方程 328

10.8.1 差分方程简介 328

10.8.2 差分方程在经济学中的简单应用 332

习题10.8 333

复习题10 333

附录1 积分公式 335

附录2 习题答案 343

参考文献 371