弹性力学问题的变分法

第一章 变分法的基本知识 1

1.1变分法的基本概念 1

1.2泛函的极值问题与欧拉方程、约束边界条件和自然边界条件 5

1.3变分问题的求解方法——里茨法、伽辽金法、列宾逊法 11

1.4解除约束条件的方法——代入消元法、拉格朗日乘子法、罚函数法 13

1.5直角坐标系中的下标记号法 16

1.6关于变分法的一些说明 18

第二章 非线性弹性、小位移下弹性力学的变分法 21

2.1非线性弹性、小位移假定下弹性力学问题的几种提法 21

2.2虚位移原理、位移变分方程、虚功方程、极小势能原理 30

2.3极小势能原理及由此导出的各类变量形式的有约束条件的变分原理 35

2.4从有约束条件的极小势能原理导出的各类变量形式的无约束条件的广义变分原理 39

2.5虚应力原理、应力变分方程、余虚功方程、极小余能原理 50

2.6极小余能原理及由此导出的各类变量形式的有约束条件的变分原理 53

2.7从有约束条件的极小余能原理导出的各类变量形式的无约束条件的广义变分原理 58

2.8小结 67

附录 基本变分原理表（非线性弹性、小位移假定下） 68

第三章 各向异性、线性弹性、小位移下弹性力学的变分法 69

3.1各向异性、线性弹性、小位移假定下弹性力学问题的几种提法 69

3.2极小势能原理及由此导出的各类变量形式的有约束条件的变分原理 73

3.3由极小势能原理导出的各类变量形式的无约束条件的广义变分原理 77

3.4极小余能原理及由此导出的各类变量形式的有约束条件的变分原理 87

3.5由极小余能原理导出的各种变量形式的无约束条件的广义变分原理 90

3.6小结 98

附录 基本变分原理表（各向异性、线性弹性、小位移假定下） 98

第四章 各向同性、线性弹性、小位移下弹性力学的变分法 100

4.1各向同性、线性弹性、小位移假定下弹性力学问题的几种提法 100

4.2极小势能原理及由此导出的各类变量形式的有约束条件的变分原理 104

4.3从有约束条件的极小势能原理导出的各类变量形式的无约束条件的广义变分原理 108

4.4极小余能原理及由此导出的各类变量形式的有约束条件的变分原理 110

4.5从有约束条件的极小余能原理导出的各类变量形式的无约束条件的广义变分原理 112

4.6按单类应力变量求解弹性力学问题的方法 113

4.7小结 115

附录 基本变分原理表（各向同性、线性弹性、小位移假定下） 116

第五章 各向同性、线性弹性、小位移下平面问题的变分法 117

5.1各向同性、线性弹性、小位移假定下弹性力学的平面应力问题和平面应变问题 117

5.2各向同性、线性弹性、小位移假定下弹性力学平面问题的几种提法 119

5.3极小势能原理和按位移求解的方法 123

5.4应用极小势能原理的例题 126

5.5极小余能原理和按应力求解的方法 131

5.6应用极小余能原理求解的例题 133

第六章 各向同性、线性弹性、小位移下扭转问题的变分法 138

6.1扭转问题的基本理论 138

6.2扭转问题的位移变分法 144

6.3扭转问题的应力变分法 146

6.4扭转问题的应力变分法例题 147

第七章 各向同性、线性弹性、小位移下薄板弯曲问题的变分法 151

7.1小挠度薄板弯曲问题的基本方程 151

7.2薄板横截面上的内力及板边的边界条件 155

7.3小挠度薄板弯曲问题的两种基本解法 158

7.4小挠度薄板弯曲问题的位移变分法 165

7.5位移变分法的应用例题 169

第八章 变分法在有限单元法中的应用 173

8.1有限单元法的基本概念 173

8.2基本量和基本方程的矩阵表示 176

8.3单元的位移模式 178

8.4单元的应变列阵和应力列阵 181

8.5应用结构力学方法导出有限单元法的基本方程——单元的结点力列阵 182

8.6应用结构力学方法导出有限单元法的基本方程——单元的结点荷载列阵 184

8.7应用结构力学方法导出有限单元法的基本方程——结构的整体分析，结点平衡方程组 187

8.8应用变分法导出有限单元法的基本方程 188

主要参考文献 193