线性代数

第一章 行列式 1

1 行列式的概念 1

一、排列和逆序数 1

二、二阶与三阶行列式 2

三、n阶行列式 3

2行列式的性质 5

一、排列的对换 5

二、行列式的性质 6

3 行列式的展开定理 10

4克莱姆法则 13

5 拉普拉斯定理与行列式的乘法 15

一、拉普拉斯定理 15

二、行列式的乘法 17

习题一 18

阅读材料1：连加号“Σ”与连乘号“Π” 20

第二章 n维向量 22

1 n维向量的定义和运算 22

一、n维向量的定义 22

二、向量的加法 23

三、向量的数量乘法 24

2向量的线性相关性 25

一、线性相关性 25

二、极大线性无关组和秩 31

3向量的内积 34

一、内积及其性质 34

二、长度、距离和夹角 35

三、正交向量组 37

习题二 40

阅读材料2：数域和数环 41

第三章 矩阵 43

1矩阵的基本概念 43

2矩阵的基本运算 45

一、矩阵的加法 45

二、数与矩阵相乘 45

三、矩阵与矩阵相乘 46

四、矩阵的转置 48

五、关于方阵的两个问题 49

3逆矩阵 51

一、逆矩阵的定义及性质 51

二、方阵A可逆的充要条件 52

4矩阵的初等变换与初等矩阵 55

一、矩阵的初等变换 55

二、初等矩阵 59

三、用初等变换求逆阵 61

5矩阵的秩 62

6分块矩阵 67

一、分块矩阵的概念 67

二、分块矩阵的运算 67

三、两种特殊分块及其应用 70

习题三 73

阅读材料3：分块矩阵的初等变换及其应用 76

第四章 线性方程组 78

1基本概念 78

一、线性方程组的三种表示形式 78

二、解与解集 79

三、有解判别条件 79

2齐次线性方程组 80

一、齐次线性方程组解的讨论 80

二、向量组的极大线性无关组的求法 84

3非齐次线性方程组 85

习题四 88

阅读材料4：无解线性方程组的最小二乘解 91

第五章 方阵的特征值和特征向量 95

1定义与求法 95

一、定义和基本性质 95

二、特征值和特征向量的求法 96

2方阵的相似关系和对角化问题 100

一、相似关系的定义与性质 100

二、相似对角化及其应用 100

3实对称矩阵的正交对角化 102

一、正交矩阵 102

二、实对称矩阵的正交对角化 103

习题五 107

阅读材料5：若当（Jordan）标准形介绍 108

第六章 二次型 111

1二次型及其矩阵表示 111

2标准形及其求法 114

一、配方法 114

二、初等变换法（也称为合同变换法） 116

三、正交变换法 118

3正定二次型和正定矩阵 121

习题六 123

阅读材料6：正定二次型及其他 124

第七章 线性空间与线性变换 126

1线性空间的基本概念 126

一、线性空间的定义和基本性质 126

二、子空间及其充要条件 128

2基与坐标 129

一、基与维数 129

二、坐标 130

三、同构 132

3 基变换与坐标变换 132

一、过渡矩阵 132

二、坐标变换公式 133

4线性变换 136

一、定义与例子 136

二、基本性质 137

5线性变换的矩阵 138

一、定义与例子 138

二、同一线性变换关于不同基的矩阵 141

三、线性变换的秩和零度 142

习题七 142

阅读材料7：集合与映射 144

习题参考答案 147

自我检测题 157

主要参考文献 201