高等数学 下

第八章 向量代数与空间解析几何 1

8.1 空间直角坐标系 2

8.1.1 空间直角坐标系的概念 2

8.1.2 两点间的距离公式 3

习题8.1 4

8.2 向量及其线性运算 4

8.2.1 向量的概念 4

8.2.2 向量的线性运算 5

8.2.3 向量的坐标表示 8

8.2.4 向量线性运算的坐标表示 9

8.2.5 向量的模 方向余弦 投影 11

习题8.2 13

8.3 数量积 向量积 混合积 14

8.3.1 两个向量的数量积 14

8.3.2 两个向量的向量积 16

8.3.3 向量的混合积 18

习题8.3 20

8.4 平面及其方程 21

8.4.1 平面方程的几种形式 21

8.4.2 两平面的位置关系 24

8.4.3 点到平面的距离 25

习题8.4 26

8.5 空间直线及其方程 26

8.5.1 空间直线方程的几种形式 26

8.5.2 两直线的位置关系 29

8.5.3 直线与平面的位置关系 29

8.5.4 平面束 32

习题8.5 33

8.6 曲面及其方程 33

8.6.1 曲面方程的概念 33

8.6.2 旋转曲面 35

8.6.3 柱面 36

8.6.4 常见的二次曲面 37

习题8.6 40

8.7 空间曲线及其方程 41

8.7.1 空间曲线方程的两种形式 41

8.7.2 空间曲线在坐标面上的投影 43

习题8.7 45

总习题八 45

第九章 多元函数微分学 48

9.1 多元函数的基本概念 49

9.1.1 区域与邻域 49

9.1.2 多元函数的概念 51

9.1.3 多元函数的极限 53

9.1.4 多元函数的连续性 55

习题9.1 57

9.2 偏导数 59

9.2.1 偏导数的定义及其计算方法 59

9.2.2 偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系 63

9.2.3 高阶偏导数 64

习题9.2 67

9.3 全微分及其应用 67

9.3.1 全微分的定义及其计算方法 67

9.3.2 全微分在近似计算中的应用 72

习题9.3 73

9.4 多元复合函数的求导法则 73

9.4.1 一元函数与多元函数复合的情形 74

9.4.2 多元函数与多元函数复合的情形 75

9.4.3 其他情形 77

习题9.4 79

9.5 隐函数的求导公式 80

9.5.1 一个方程的情形 80

9.5.2 方程组的情形 83

习题9.5 86

9.6 多元函数微分学的应用 87

9.6.1 一元向量值函数及其导数 87

9.6.2 空间曲线的切线与法平面 89

9.6.3 曲面的切平面与法线 93

习题9.6 96

9.7 方向导数与梯度 96

9.7.1 方向导数的定义及其计算法 96

9.7.2 梯度 99

习题9.7 101

9.8 多元函数的极值及其应用 102

9.8.1 多元函数的极值及最值 102

9.8.2 条件极值 拉格朗日乘数法 105

习题9.8 110

总习题九 111

第十章 重积分 113

10.1 二重积分的概念与性质 114

10.1.1 二重积分的概念 114

10.1.2 二重积分的性质 117

习题10.1 118

10.2 二重积分的计算 119

10.2.1 利用直角坐标计算二重积分 119

10.2.2 利用极坐标计算二重积分 128

10.2.3 二重积分的换元法 133

习题10.2 136

10.3 三重积分 137

10.3.1 三重积分的概念 137

10.3.2 三重积分的计算 139

习题10.3 147

10.4 重积分的应用 148

10.4.1 重积分在几何中的应用 149

10.4.2 重积分在物理中的应用 151

习题10.4 156

总习题十 156

第十一章 曲线积分与曲面积分 159

11.1 对弧长的曲线积分 160

11.1.1 对弧长的曲线积分的产生 160

11.1.2 对弧长的曲线积分的概念与性质 161

11.1.3 对弧长的曲线积分的计算方法 163

习题11.1 168

11.2 对坐标的曲线积分 169

11.2.1 对坐标的曲线积分的产生 169

11.2.2 对坐标的曲线积分的概念与性质 170

11.2.3 对坐标的曲线积分的计算方法 172

11.2.4 两类曲线积分之间的联系 176

习题11.2 178

11.3 格林公式及其应用 179

11.3.1 格林公式 180

11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 184

11.3.3 二元函数的全微分求积 186

11.3.4 曲线积分的基本定理 188

习题11.3 189

11.4 对面积的曲面积分 190

11.4.1 非均匀密度曲面的质量问题 190

11.4.2 对面积的曲面积分的概念与性质 191

11.4.3 对面积的曲面积分的计算方法 192

习题11.4 196

11.5 对坐标的曲面积分 196

11.5.1 有向曲面的有关概念 197

11.5.2 对坐标的曲面积分的概念与性质 198

11.5.3 对坐标的曲面积分的计算方法 201

11.5.4 两类曲面积分之间的联系 205

习题11.5 208

11.6 高斯公式与斯托克斯公式 209

11.6.1 高斯公式 209

11.6.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 212

11.6.3 斯托克斯公式 213

11.6.4 空间曲线积分与路径无关的条件 216

习题11.6 218

总习题十一 219

第十二章 无穷级数 221

12.1 常数项级数的概念和性质 222

12.1.1 常数项级数的概念 222

12.1.2 收敛级数的基本性质 225

12.1.3 级数收敛的必要条件 227

12.1.4 柯西收敛准则 227

习题12.1 228

12.2 常数项级数的审敛法 229

12.2.1 正项级数及其审敛法 229

12.2.2 交错级数及其审敛法 236

12.2.3 绝对收敛与条件收敛 237

习题12.2 238

12.3 幂级数 239

12.3.1 函数项级数的概念 239

12.3.2 幂级数的概念及其收敛性 240

12.3.3 幂级数的运算 245

习题12.3 247

12.4 函数展开成幂级数 248

12.4.1 泰勒级数 248

12.4.2 函数展开成幂级数 249

习题12.4 255

12.5 函数项级数的一致收敛及其基本性质 255

12.5.1 函数项级数的一致收敛性 255

12.5.2 一致收敛级数的基本性质 258

习题12.5 261

12.6 傅里叶级数 262

12.6.1 三角级数 三角函数系的正交性 262

12.6.2 函数展开成傅里叶级数 263

12.6.3 正弦级数和余弦级数 269

习题12.6 273

12.7 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 274

习题12.7 277

总习题十二 277

部分习题答案与提示 280

参考文献 299