圆与球

第一部分 圆的极小性质 1

1．Steiner的四连杆法 1

2．存在问题 3

3．多角形的面积 4

4．四连杆法对于多角形的应用 7

5．多角形的存在证明 9

6．等边多角形和三角法的表示式 12

7．曲线的弧长 19

8．曲线按多角形的逼近 22

9．有界跳跃函数 25

10．闭曲线的面积 27

11．平面等周问题的解 29

12．一些应用 32

13．关于积分概念 34

14．历史性的文献 38

第二部分 球的极小性质 43

15．Steiner的证法 43

Ⅰ．问题的提出 43

Ⅱ．Steiner的对称化 44

Ⅲ．对Steiner证法的批判 45

16．凸体和凸函数 47

Ⅰ．双变量的凸函数 47

Ⅱ．一个凸体通过一些不等式的确定 48

Ⅲ．单变量的凸函数 50

Ⅳ．支持直线、支持平面 52

Ⅴ．一个点集的凸包、凸多面体 53

Ⅵ．支持函数 54

17．体积和表面积 54

Ⅰ．多面体的体积和表面积 54

Ⅱ．通过多面体的逼近 55

Ⅲ．任意凸体的体积和表面积的定义 56

Ⅳ．收敛的凸体序列 58

Ⅴ．体积与表面积的连续性 59

18．Bolzano-Weierstrass关于凝聚点存在定理的一个拓广 60

Ⅰ．凸体的选择定理 60

Ⅱ．Cantor的对角线法 61

Ⅲ．所选序列的收敛性 62

Ⅳ．和以前收敛定义的相一致性 64

Ⅴ．收敛概念的第二种表示 65

19．对称化 67

Ⅰ．收敛凸体序列的对称化 67

Ⅱ．对体积和表面积的作用 69

Ⅲ．逼近多面体的对称化 70

Ⅳ．H？lder中值定理的应用 72

Ⅴ．上述估值的引进 73

Ⅵ．H.A.Schwarz的不等式 75

Ⅶ．表面积的缩小 76

Ⅷ．球的等周性质 78

20．一些补充注记 79

Ⅰ．论对凸的对照体的限制 79

Ⅱ．关于二重积分的存在性 82

Ⅲ．“凸体”和“凸函数”等概念 83

第三部分 凸体论中的Schwarz,Brunn和Minkowski的诸定理 87

21．Schwarz的构造法和Brunn的定理 87

Ⅰ．H.A.Schwarz的构造法 87

Ⅱ．收敛性证明 88

Ⅲ．关于重心 90

Ⅳ．H.Brunn的一个定理 91

Ⅴ．H.A.Schwarz的一个定理 92

22．Brunn和Minkowski定理 93

Ⅰ．凸体的线性族和凸性族 93

Ⅱ．凸性族的对称化 95

Ⅲ．与一个线性族的凸体体积有关的Brunn定理的证明 96

Ⅳ．线性族的对称化 98

Ⅴ．Minkowski对Brunn定理的补充 100

Ⅵ．Minkowski不等式 101

Ⅶ．对M2-4πO≥0的第二证明 103

23．补充事项 104

Ⅰ．文献 104

Ⅱ．Wirtinger的引理 105

Ⅲ．应用 106

Ⅳ．Wirtinger引理在球面上的拓广 108

Ⅴ．关于表面积的Minkowski公式 110

Ⅵ．凸泛函 111

第四部分 凸体极值中的新课题 115

24．在一个凸曲面内可无滑动地滚转的最大球的决定 115

Ⅰ．整体微分几何 115

Ⅱ．一凸曲线的最小和最大密切圆 116

Ⅲ．与曲面曲率有关的Euler公式的一个对偶对象 118

Ⅳ．空间课题的解 120

25．凸曲面所应受到的曲率限制 121

Ⅰ．问题的提出和归结到的旋转面 121

Ⅱ．Schwarz构造法的应用 121

Ⅲ．直径的不变性 122

Ⅳ．Bieberbach的一个定理 124

Ⅴ．总曲率在对称化中的抑制 125

Ⅵ．总曲率在极限过程中的抑制 128

Ⅶ．为对旋转面的证明而作的一些准备 130

Ⅷ．纺锤形的常总曲率旋转面 131

Ⅸ．一些成果 134

Ⅹ．O.Bonnet的一个定理 136

26．对曲率的其他限制 137

Ⅰ．问题的提出和其到旋转面的归结 137

Ⅱ．硬化的性质 138

Ⅲ．支持函数的微分几何 139

Ⅳ．总曲率在硬化中的抑制 142

Ⅴ．干酪形的常总曲率旋转面 143

Ⅵ．平均曲率在硬化中的抑制 146

附录 关于凸体的其他研究的瞭望 149

Ⅰ．凸体垂足的面积 150

Ⅱ．凸体垂足的周长 151

Ⅲ．Minkowski的常幅体 153

Ⅳ．常亮度的体 154

Ⅴ．有心凸体的积分表示 156

Ⅵ．与有心卵形面有关的公式 158

Ⅶ．椭球在卵形面中的特征 159

Ⅷ．一条凸闭曲线的顶点的最少个数 161

Ⅸ．关于卵形面微分几何的其他内容 163

评注&张高勇 167

编者致谢 185