工科数学分析 下

第8章 多元函数微分学 1

8.1 多元函数的基本概念 1

8.1.1 预备知识 1

8.1.2 多元函数 2

8.1.3 多元函数的极限与连续 4

8.2 偏导数与高阶偏导数 7

8.2.1 偏导数 7

8.2.2 高阶偏导数 10

8.3 全微分 11

8.4 复合函数求导法 16

8.5 隐函数求导法 21

8.6 偏导数的几何应用 26

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 26

8.6.2 曲面的切平面与法线 28

8.6.3 二元函数全微分的几何意义 30

8.7 多元函数的一阶泰勒公式与极值 31

8.7.1 多元函数的一阶泰勒公式 31

8.7.2 多元函数的极值 32

8.7.3 条件极值、拉格朗日乘数法 35

8.8 方向导数与梯度 39

8.8.1 方向导数 39

8.8.2 梯度 41

8.9 例题 43

习题八 46

第9章 多元函数积分学 56

9.1 二重积分的概念与性质 56

9.1.1 二重积分的概念 56

9.1.2 二重积分的性质 58

9.2 二重积分的计算 59

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 59

9.2.2 极坐标系下二重积分的计算 64

9.2.3 用二重积分计算曲面面积 68

9.3 三重积分的计算 69

9.3.1 三重积分的概念 69

9.3.2 直角坐标系下三重积分的计算 70

9.3.3 柱坐标系下三重积分的计算 73

9.3.4 球坐标系下三重积分的计算 75

9.4 第一型曲线积分的概念和计算 79

9.4.1 第一型曲线积分的概念和性质 79

9.4.2 第一型曲线积分的计算 80

9.5 第一型曲面积分 83

9.5.1 对面积的曲面积分的定义 83

9.5.2 对面积的曲面积分计算 84

9.6 积分的应用举例 87

9.6.1 物体的质心 87

9.6.2 转动惯量 89

9.7 例题 90

习题九 95

附录Ⅳ 重积分的变量变换 104

第10章 第二型曲线积分与第二型曲面积分、向量场 110

10.1 第二型曲线积分 110

10.1.1 变力作功与第二型曲线积分的概念 110

10.1.2 第二型曲线积分的计算 113

10.1.3 第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系 116

10.2 格林公式 117

10.3 平面曲线积分与路径无关的条件、保守场 123

10.3.1 平面曲线积分与路径无关的条件 123

10.3.2 保守场、原函数、全微分方程 128

10.4 第二型曲面积分 130

10.4.1 有向曲面 130

10.4.2 第二型曲面积分概念 131

10.4.3 第二型曲面积分的计算 134

10.5 高斯公式、通量与散度 137

10.5.1 高斯公式 137

10.5.2 向量场的通量与散度 140

10.6 斯托克斯公式、环量与旋度 143

10.6.1 斯托克斯公式 143

10.6.2 向量场的环量与旋度 145

10.7 例题 149

习题十 154

第11章 无穷级数 166

11.1 无穷级数的敛散性 167

11.1.1 收敛与发散概念 167

11.1.2 无穷级数的几个基本性质 169

11.2 正项级数敛散性判别法 173

11.3 任意项级数、绝对收敛 180

11.4 反常积分敛散性判别法、Γ函数 184

11.4.1 反常积分敛散性判别法 184

11.4.2 Γ函数 187

11.5 函数项级数、一致收敛 188

11.5.1 函数项级数 188

11.5.2 一致收敛 190

11.6 幂级数 195

11.6.1 幂级数的收敛半径和收敛域 196

11.6.2 幂级数的运算 200

11.7 函数的幂级数展开 203

11.7.1 直接展开法，泰勒级数 203

11.7.2 间接展开法 208

11.7.3 幂级数求和 211

11.8 幂级数的应用举例 214

11.8.1 函数值的近似计算 214

11.8.2 在积分计算中的应用 215

11.8.3 方程的幂级数解法 217

11.9 傅里叶级数 218

11.9.1 三角函数系的正交性 219

11.9.2 傅里叶级数 220

11.9.3 正弦级数和余弦级数 225

11.9.4 以2l为周期的函数的傅里叶级数 226

11.9.5 有限区间上的函数的傅里叶展开 229

11.9.6 傅里叶级数的复数形式 231

11.10 例题 232

习题十一 236

附录Ⅴ 幂级数的收敛半径 249