数学建模的思想和方法

第1部分 课程简介 1

第1讲 数学建模课程简介 3

1.1 数学模型与数学建模 3

1.2 数学建模的一般过程 4

1.3 学习该课程的要求 5

1.4 求解数学模型与数学题目的不同之处 6

1.5 习题 8

第2部分 科学计算的技术和方法 9

第2讲 求函数最值 11

2.1 应用几何直观对二元函数最优解的分析 11

2.2 Lagrange乘数法 14

2.3 习题 17

第3讲 快速傅里叶变换 19

3.1 问题背景 19

3.2 傅里叶变换及其计算 19

3.3 傅里叶变换应用举例 22

3.4 习题 25

第4讲 数值积分法 26

4.1 自适应积分法 26

4.2 高斯积分法 29

4.3 R函数 32

4.4 习题 33

第5讲 求解非线性系统 34

5.1 求解一般非线性方程组 34

5.2 求解大型非线性方程组 37

5.3 求解非线性优化问题 41

5.4 习题 42

第6讲 一阶常微分方程的数值求解 43

6.1 一阶常微分方程数值求解的经典方法 43

6.2 数值求解一阶常微分方程R函数及实例 48

6.3 习题 49

综合考查题（1） 51

第3部分 处理数据的技术和方法 53

第7讲 数据描述性分析 55

7.1 统计学的若干基本概念 55

7.2 数字特征 55

7.3 数据的分布 60

7.4 习题 62

第8讲 随机数的生成 64

8.1 伪随机数的生成 64

8.2 连续型随机数的生成 64

8.3 离散型随机数的生成 67

8.4 习题 70

第9讲 模拟应用举例 72

9.1 模拟与积分 72

9.2 均方误差的估计——自助法 79

9.3 习题 82

第10讲 非参数检验的方法与技术 83

10.1 总体中无未知参数的拟合优度检验 83

10.2 总体中含未知参数的拟合优度检验 87

10.3 两样本数据分析 90

10.4 习题 94

第11讲 线性预测与方差分析 95

11.1 线性预测技术 95

11.2 单因子方差分析 101

11.3 习题 106

第12讲 曲线光滑技术 107

12.1 概率密度估计 107

12.2 非参数回归光滑 110

12.3 习题 113

综合考查题（2） 115

第4部分 数学建模的实例 117

第13讲 建模过程的体验——海运公司运费降价促销问题 119

13.1 问题 119

13.2 问题分析与简化 119

13.3 模型建立 120

13.4 模型求解与结果分析 121

13.5 模型的进一步讨论 122

13.6 习题 123

第14讲 数学规划模型之一——奶制品的生产与销售 124

14.1 加工奶制品的生产计划 124

14.2 奶制品的生产销售计划 127

14.3 习题 131

第15讲 数学规划模型之二——投资效益问题 133

15.1 投资效益问题 133

15.2 销售代理的开发 134

15.3 选课策略 136

15.4 习题 140

第16讲 矩阵代数模型——投入产出综合平衡问题 141

16.1 引言 141

16.2 价值型投入产出模型 141

16.3 实物型投入产出模型 144

16.4 投入产出表的产生和发展 147

16.5 习题 148

第17讲 常微分方程模型之一——生物群体的变化和发展 150

17.1 单物种群体模型 150

17.2 相互竞争的两物种群体系统 153

17.3 两物种弱肉强食模型 155

17.4 大鱼—小鱼系统模型 156

17.5 习题 157

第18讲 常微分方程模型之二——经济增长模型 158

18.1 柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数概述 158

18.2 柯布—道格拉斯生产函数的基本形式 158

18.3 柯布—道格拉斯生产函数模型实例 160

18.4 资金与劳动力的最佳分配 161

18.5 劳动生产率增长的条件 161

18.6 习题 163

第19讲 差分方程模型之一——减肥计划的制订 164

19.1 减肥计划——节食与运动 164

19.2 按年龄分组的种群增长 167

19.3 习题 171

第20讲 差分方程模型之二——市场经济中的蛛网模型 172

20.1 蛛网模型简介 172

20.2 利于市场经济稳定的最优管理水平 176

20.3 习题 178

第21讲 从差分方程模型到概率模型——海战分析 179

21.1 预备知识 179

21.2 战事问题 181

21.3 确定性差分方程模型 181

21.4 随机模型 183

21.5 习题 186

第22讲 Markov链模型——社会阶层的变迁 187

22.1 什么是Markov链 187

22.2 社会阶层流动问题 189

22.3 Markov链模型 190

22.4 模型灵敏度分析 192

22.5 习题 194

第23讲 基本假设对模型的影响——传染病的传播 197

23.1 问题提出 197

23.2 建模分析 197

23.3 SI模型 197

23.4 SIS模型 198

23.5 SIR模型 199

23.6 随机模型——Markov链模型 201

23.7 模型的进一步讨论 202

23.8 习题 203

第24讲 统计回归模型——牙膏的销售量 204

24.1 牙膏的销售量 204

24.2 酶促反应 209

24.3 习题 212

第25讲 Logit模型——住房和收入的关系 214

25.1 二元Logit模型 214

25.2 多元Logit模型 219

25.3 习题 223

第26讲 时间序列模型——波动率的刻画 225

26.1 波动率模型简介 225

26.2 建立AR（1）-GARCH（1,1）模型 226

26.3 模型评价 230

26.4 习题 231

第27讲 决策论模型——风险决策 232

27.1 设备的定期维修问题 232

27.2 风险决策的矩阵形式 233

27.3 最小期望机会损失原则 234

27.4 习题 235

第28讲 博弈论模型——水雷战中的问题 236

28.1 问题的提出 236

28.2 两人零和纯策略对策 237

28.3 混合策略对策 240

28.4 在水雷战中的应用 241

28.5 习题 244

第29讲 动态规划模型——设备的最佳使用 245

29.1 预备知识 245

29.2 机器最佳使用问题建模 249

29.3 习题 254

第30讲 多种模型的考虑——存储问题 256

30.1 简单的优化模型 256

30.2 随机存储策略 260

30.3 现实世界中的存储建模 265

30.4 习题 269

第31讲 随机过程模型——股市中的数学 270

31.1 预备知识 270

31.2 股票价格分析与建模 272

31.3 广义双曲分布族及其在拟合股票收益率中的应用 275

31.4 习题 277

综合考查题（3） 278

参考文献 280