矩阵论学习辅导与典型题解析

第一章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间，基、维数及坐标 1

一、线性空间与子空间 1

［内容提要］ 1

［典型题解析］ 2

二、线性空间的基，维数与坐标 5

［内容提要］ 5

［典型题解析］ 6

［典型题解析］ 13

［内容提要］ 13

三、基变换与坐标变换 13

1.2 和，交子空间与子空间的直和 17

［内容提要］ 17

［典型题解析］ 18

1.3 线性变换的矩阵 23

一、线性变换及对应的矩阵 23

［内容提要］ 23

［典型题解析］ 25

［内容提要］ 34

二、线性变换T的不变子空间 34

［典型题解析］ 35

1.4 内积空间 36

一、欧氏(酉)空间内积及标准正交基 36

［内容提要］ 36

［典型题解析］ 37

二、正交(酉)变换与正交(酉)矩阵 42

［内容提要］ 42

［典型题解析］ 43

［典型题解析］ 46

三、正交子空间与正交补 46

［内容提要］ 46

1.5 综合题解析 49

第二章 Jordan标准形 56

2.1 方阵相似于对角阵 56

［内容提要］ 56

［典型题解析］ 57

2.2 Jordan标准形 65

［内容提要］ 65

［典型题解析］ 66

［内容提要］ 74

2.3 矩阵的最小多项式 74

［典型题解析］ 75

2.4 综合题解析 81

第三章 矩阵的分解 91

3.1 Schur定理及正规矩阵 91

［内容提要］ 91

［典型题解析］ 92

［内容提要］ 104

3.2 矩阵的满秩分解 104

［典型题解析］ 105

3.3 矩阵的LU分解，QR分解，谱分解及奇异值分解 109

［内容提要］ 109

［典型题解析］ 112

第四章 矩阵广义逆 125

4.1 矩阵的左逆和右逆 125

［内容提要］ 125

［典型题解析］ 126

［内容提要］ 128

4.2 矩阵广义逆 128

［典型题解析］ 129

4.3 正交投影与最小二乘解 137

［内容提要］ 137

［典型题解析］ 138

第五章 矩阵分析 146

5.1 向量范数与矩阵范数 146

［内容提要］ 146

［典型题解析］ 148

［内容提要］ 155

5.2 向量、矩阵序列的极限，矩阵幂级数 155

［典型题解析］ 157

5.3 矩阵函数及其计算 163

［内容提要］ 163

［典型题解析］ 165

5.4 函数矩阵的微积分与解线性微分方程组 172

［内容提要］ 172

［典型题解析］ 174

5.5 综合题解析 181

附录 测试题及解答 193