高等代数

第一章 基本概述 1

1.1 集合 1

1.2 数环和数域 3

1.3 数学归纳法 7

1.4 整数的整除性 11

1.5 整数的分解 17

第二章 行列式 20

2.1 n元排列 20

2.2 行列式定义 23

2.3 行列式的基本性质 29

2.4 行列式依行、依列展开 38

2.5 行列式的计算 45

2.6 拉普拉斯定理、行列式相乘规则 54

2.7 克莱姆法则 61

第三章 矩阵 67

3.1 矩阵的运算 67

3.2 矩阵的秩 76

3.3 逆方阵 83

3.4 初等方阵 89

3.5 分块矩阵及其应用 96

4.1 消元法 109

第四章 线性方程组 109

4.2 n元向量 119

4.3 向量的线性相关性 126

4.4 矩阵的行秩与列秩 137

4.5 线性方程组的公式解 142

4.6 线性方程组解的结构 147

第五章 一元多项式 156

5.1 多项式的运算 156

5.2 多项式的整除性 160

5.3 最大公因式 166

5.4 不可约多项式 174

5.5 重因式 180

5.6 多项式的根 184

第六章 复数域、实数域和有理数域上的多项式 191

6.1 n次单位根 191

6.1 复数域上的多项式 196

6.3 实数域上的多项式 201

6.4 有理数域上多项式的有理根 204

6.5 艾森斯坦判别法 209

第七章 多元多项式 216

7.1 一般概念 216

7.2 对称多项式 220

7.3 对称多项式与一元多项式的根 228

第八章 二次齐式 232

8.1 化二次齐式为标准形 233

8.2 二次齐式的矩阵表示 241

8.3 用初等变换求标准形 248

8.4 惯性定理 254

8.5 正定二次齐式 258

第九章 线性空间 269

9.1 映射与变换 269

9.2 代数运算 274

9.3 线性空间与子空间 279

9.4 基与维数 285

9.5 坐标 290

9.6 子空间的和与直和 296

9.7 线性空间的同构 301

第十章 线性变换 306

10.1 线性变换的定义和运算 306

10.2 线性变换的矩阵 311

10.3 不变子空间 319

10.4 特征向量与特征值 325

10.5 特征多项式 332

10.6 方阵对角化与特征子空间 337

11.1 欧氏空间定义和简单性质 347

第十一章 欧氏空间 347

11.2 正交基和标准正交基 353

11.3 子空间的正交 360

11.4 正交变换和正交方阵 362

11.5 对称变换和对称方阵 372

第十二章 群、环、域初步 380

12.1 群的定义和例子 380

12.2 子群 388

12.3 群的同态和同构 391

12.4 环的定义和例子 396

12.5 域 403

附录一 向量在子空间上的正射影、最小二乘法 408

附录二 λ-矩阵 413

1 λ-矩阵的初等变换 414

2 λ-矩阵的标准形 418

3 不变因子和初等因子 423

4 方阵相似的判定 430

5 约当(Jordan)标准形 436

6 有理标准形 441

习题答案与提示 446

名词索引 471