常微分方程

第一章 基本概念 1

1.1 定义和例子 1

1.1.1 方程和解 1

1.1.2 通解 3

1.1.3 初值问题 4

1.1.4 曲线族 5

习题1.1 7

1.2 几何解释 7

习题1.2 11

第二章 初等积分法 12

2.1 变量分离方程 12

习题2.1 18

2.2 齐次方程 20

习题2.2 24

2.3 一阶线性方程 24

2.3.1 一阶齐次线性微分方程的通解 25

2.3.2 一阶非齐次线性微分方程的通解——常数变易法 25

2.3.3 解的性质 26

2.3.4 例子 27

2.3.5 不连续输入的情形 30

习题2.3 31

2.4 Bernoulli方程和Riccati方程 32

2.4.1 Bernoulli方程 33

2.4.2 Riccati方程 35

习题2.4 37

2.5 恰当方程及积分因子法 37

2.5.1 恰当方程 37

2.5.2 积分因子法 40

2.5.3 分组求积分因子法 46

习题2.5 48

2.6 隐式微分方程 49

2.6.1 可解出y（或x）的方程——微分法 50

2.6.2 不显含x（或y）的方程——参数法 55

2.6.3 一般情形——参数法 57

习题2.6 59

2.7 可降阶的高阶方程 59

习题2.7 61

2.8 应用举例 62

习题2.8 68

第三章 线性微分方程组 70

3.1 矩阵分析初步 70

3.1.1 向量和矩阵的范数 70

3.1.2 向量和矩阵序列的极限 72

3.1.3 矩阵函数及其连续、导数和积分 74

3.1.4 矩阵函数序列和级数 76

习题3.1 77

3.2 一般理论 77

3.2.1 存在和唯一性定理 79

3.2.2 齐次线性微分方程组 82

3.2.3 非齐次线性微分方程组 90

习题3.2 93

3.3 常系数线性微分方程组 94

3.3.1 矩阵指数函数的定义和性质 95

3.3.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 96

3.3.3 矩阵指数函数的求法 97

3.3.4 基解矩阵的求法 101

3.3.5 不变子空间 118

习题3.3 128

第四章 高阶线性微分方程 132

4.1 一般理论 132

4.1.1 存在和唯一性定理 133

4.1.2 高阶线性微分方程的一般理论 134

习题4.1 139

4.2 常系数高阶线性微分方程 141

4.2.1 常系数齐次线性微分方程 141

4.2.2 非齐次线性方程——待定系数法 144

4.2.3 Euler方程 154

4.2.4 Laplace变换法 157

习题4.2 159

4.3 幂级数解法 161

4.3.1 常点情形——幂级数解法 162

4.3.2 奇点情形——广义幂级数解法 166

4.3.3 变换法——求变系数线性微分方程的有限形式解 170

习题4.3 172

4.4 边值问题 173

4.4.1 Sturm比较定理 173

4.4.2 二阶线性微分方程边值问题的特征值 177

习题4.4 182

第五章 微分方程的基本定理 184

5.1 Picard存在和唯一性定理 184

5.1.1 Picard存在和唯一性定理 185

5.1.2 存在和唯一性的进一步讨论 192

习题5.1 197

5.2 Peano存在性定理的证明 198

习题5.2 204

5.3 解不唯一的情形——奇解 205

5.3.1 奇解 205

5.3.2 包络 209

习题5.3 215

5.4 解的延伸 216

习题5.4 225

5.5 解对初值与参数的连续依赖性 226

习题5.5 231

5.6 解对初值和参数的可微性 232

习题5.6 239

第六章 定性理论初步 240

6.1 动力系统概念 240

习题6.1 243

6.2 Lyapunov稳定性 243

6.2.1 稳定性定义 244

6.2.2 按线性近似判别稳定性 247

6.2.3 Lyapunov直接方法 248

6.2.4 一维动力系统 253

习题6.2 255

6.3 平面动力系统 257

6.3.1 奇点 258

6.3.2 极限环 269

6.3.3 一个例子——摆方程 272

习题6.3 277

第七章 一阶偏微分方程 279

7.1 基本概念 279

习题7.1 280

7.2 首次积分 281

习题7.2 284

7.3 一阶拟线性偏微分方程的Cauchy问题 284

习题7.3 288

7.4 一阶拟线性偏微分方程的通解 289

习题7.4 294

部分习题答案及提示 295

参考文献 309