文明之路 数学史演讲录 第2版

引言 1

第1讲 数学的起源与早期发展 4

1.1 数与形概念的产生 4

1.2 河谷文明与早期数学 5

1.2.1 古代埃及的数学 5

1.2.2 古代巴比伦的数学 6

1.2.3 吠陀时代的印度数学 7

1.2.4 西汉以前的中国数学 9

提问与讨论题、思考题 10

第2讲 古代希腊数学 11

2.1 古典希腊时期的数学 12

2.1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派） 12

2.1.2 毕达哥拉斯学派 13

2.1.3 伊利亚学派 14

2.1.4 诡辩学派（智入学派） 14

2.1.5 柏拉图学派 15

2.1.6 亚里士多德学派（吕园学派） 15

2.2 亚历山大前期的数学 15

2.2.1 欧几里得（约公元前325～约前265年） 16

2.2.2 阿基米德（公元前287～前212年） 17

2.2.3 阿波罗尼乌斯（约公元前262～约前190年） 18

2.3 希腊数学的衰落 19

2.3.1 托勒密（埃及，约90～约165年） 19

2.3.2 丢番图（埃及，3世纪） 20

2.3.3 古希腊数学的落幕 20

提问与讨论题、思考题 21

第3讲 中世纪的东西方数学Ⅰ 23

3.1 中算发展的第1次高峰：数学体系的形成 23

3.2 中算发展的第2次高峰：数学稳步发展 25

3.2.1 刘徽（魏晋，公元3世纪） 25

3.2.2 祖冲之（南朝宋、齐，429～500年） 26

3.3 中算发展的第3次高峰：数学全盛时期 28

3.3.1 开方术 28

3.3.2 天元术 29

3.3.3 大衍术 30

3.3.4 垛积术 31

3.3.5 招差术 31

3.3.6 四元术 32

提问与讨论题、思考题 33

第4讲 中世纪的东西方数学Ⅱ 35

4.1 印度数学（公元5～12世纪） 35

4.1.1 阿耶波多（476～约550年）第一 36

4.1.2 婆罗摩笈多（598～约665年） 36

4.1.3 婆什迦罗（1114～约1185年）第二 36

4.2 阿拉伯数学（公元8～15世纪） 37

4.2.1 早期阿拉伯数学（8世纪中叶～9世纪） 38

4.2.2 中期阿拉伯数学（10～12世纪） 40

4.2.3 后期阿拉伯数学（13～15世纪） 40

4.3 欧洲数学（公元5～15世纪） 41

4.3.1 教会统治 41

4.3.2 “黑暗时期” 42

4.3.3 科学复苏 43

提问与讨论题、思考题 45

第5讲 文艺复兴时期的数学 46

5.1 文明背景 46

5.1.1 文艺复兴 46

5.1.2 技术进步 47

5.1.3 地理大发现 48

5.1.4 哥白尼革命 49

5.2 文艺复兴时期的欧洲数学 50

5.2.1 代数学 50

5.2.2 三角学 52

5.2.3 射影几何 53

5.2.4 计算技术 54

5.3 15～17世纪的中国数学 55

5.3.1 珠算 56

5.3.2 《几何原本》 57

5.3.3 《崇祯历书》 58

提问与讨论题、思考题 59

第6讲 牛顿时代：解析几何与微积分的创立 61

6.1 近代科学的兴起 61

6.1.1 科学思想与方法论 62

6.1.2 天文学 62

6.1.3 经典力学 62

6.1.4 化学 62

6.1.5 生理学 63

6.2 解析几何的诞生 63

6.3 微积分的创立 65

6.3.1 孕育（17世纪上半叶） 65

6.3.2 牛顿（英，1642～1727年） 67

6.3.3 莱布尼茨（德，1646～1716年） 70

6.3.4 优先权之争 72

提问与讨论题、思考题 72

第7讲 18世纪的数学：分析时代 74

7.1 微积分的发展 74

7.1.1 泰勒（英，1685～1731年） 75

7.1.2 贝克莱（爱尔兰，1685～1753年） 75

7.1.3 麦克劳林（英，1698～1746年） 76

7.1.4 雅格布·伯努利（瑞士，1654～1705年） 77

7.1.5 约翰·伯努利（瑞士，1667～1748年） 77

7.1.6 丹尼尔·伯努利（瑞士，1700～1782年） 78

7.1.7 欧拉（瑞士，1707～1783年） 78

7.1.8 达朗贝尔（法，1717～1783年） 80

7.1.9 拉格朗日（法，1736～1813年） 80

7.2 数学新分支的形成 81

7.2.1 常微分方程 81

7.2.2 偏微分方程 82

7.2.3 变分法 83

7.3 18世纪的中国数学 84

7.3.1 梅文鼎（清，1633～1721年） 84

7.3.2 明安图（清，1692～1764年） 85

7.3.3 乾嘉学派 85

7.4 19世纪的数学展望 86

提问与讨论题、思考题 87

第8讲 19世纪的代数 88

8.1 代数方程根式解 88

8.2 数系扩张 92

8.3 布尔代数 94

8.4 数论 95

提问与讨论题、思考题 98

第9讲 19世纪的几何 100

9.1 几何学的变革 100

9.1.1 微分几何 100

9.1.2 非欧几何 101

9.1.3 射影几何 104

9.1.4 埃尔朗根纲领 105

9.1.5 几何学的公理化 106

9.2 19世纪的中国数学 106

9.2.1 李善兰（清，1811～1882年） 107

9.2.2 华蘅芳（清，1833～1902年） 108

提问与讨论题、思考题 109

第10讲 19世纪的分析 111

10.1 分析的严格化 111

10.1.1 分析的算术化 111

10.1.2 实数理论 113

10.1.3 集合论 113

10.2 复变函数论 115

10.3 分析的拓展 117

10.3.1 解析数论 117

10.3.2 偏微分方程 118

10.3.3 微分方程解的性质 120

提问与讨论题、思考题 123

第11讲 20世纪数学：纯粹数学大发展 124

11.1 国际数学家大会 124

11.2 纯粹数学的发展 128

11.2.1 实变函数论 128

11.2.2 抽象代数 129

11.2.3 拓扑学 130

11.2.4 概率论 131

11.3 数学基础大论战 132

11.3.1 逻辑主义 132

11.3.2 直觉主义 133

11.3.3 形式主义 133

11.3.4 公理集合论 134

提问与讨论题、思考题 135

第12讲 20世纪数学：数学研究新成就 137

12.1 数学研究成果5例 137

12.1.1 四色问题 137

12.1.2 动力系统 138

12.1.3 卢津猜想 141

12.1.4 庞加莱猜想 142

12.1.5 数论 143

12.2 数学奖 145

12.2.1 沃尔夫奖 145

12.2.2 邵逸夫奖 145

12.2.3 新千年数学奖 147

提问与讨论题、思考题 149

第13讲 20世纪数学：数学中心的迁移 150

13.1 数学中心的迁移 150

13.2 20世纪的一些数学团体 151

13.2.1 哥廷根学派 152

13.2.2 波兰数学学派 152

13.2.3 苏联数学学派 154

13.2.4 布尔巴基学派 155

13.2.5 美国数学 157

13.3 20世纪的中国数学 158

13.3.1 中国数学会 158

13.3.2 中国科学院数学物理学部中的数学家 159

13.3.3 华罗庚、陈景润、陆家羲 160

13.3.4 群星闪烁 163

提问与讨论题、思考题 164

第14讲 数学论文写作初步 165

14.1 论文的撰写 166

14.1.1 文献搜集 166

14.1.2 资料整理 166

14.1.3 论文选题 167

14.1.4 拟定提纲 168

14.1.5 写作初稿 168

14.1.6 修改定稿 171

14.2 论文的发表 171

14.2.1 发表形式 171

14.2.2 发表程序 172

14.2.3 校对工作 172

14.3 科研成果的保管 173

提问与讨论题、数学史论述题 173

参考文献 176

人名索引 178

术语索引 189

邮票索引 197

后记一 200

后记二 202