特殊函数计算手册

第1章 Bernoulli和Euler数 1

1.1 Bernoulli数 1

1.2 Euler数 3

1.3 数表 6

第2章 正交多项式 8

2.1 引言 8

2.2 Chebyshev多项式 8

2.3 Laguerre多项式 12

2.4 Hermite多项式 14

2.5 数值计算 16

2.6 数值积分应用 16

2.7 数表 22

第3章 Gamma，Beta和Psi函数 30

3.1 Gamma函数Γ（z） 30

3.2 Beta函数B（p，q） 34

3.3 Psi函数ψ（z） 36

3.4 不完全Gamma函数 38

3.5 不完全Beta函数 40

3.6 数表 41

第4章 Legendre函数 51

4.1 引言 51

4.2 第一类Legendre函数 51

4.3 第二类Legendre函数 54

4.4 第一类缔合Legendre函数 58

4.5 第二类缔合Legendre函数 62

4.6 任意v次的Legendre函数 66

4.7 数表 71

第5章 Bessel函数 83

5.1 引言 83

5.2 Bessel函数J0（x），J1（x），Y0（x）和Y1（x）的计算 86

5.3 实宗量Bessel函数Jn（x）和Yn（x）的计算 90

5.4 复宗量Bessel函数Jn（z）和Yn（z）的计算 93

5.5 任意阶v、复宗量Bessel函数Jv（x）和Yv（z）的计算 96

5.6 计算的正确性和精度的评估 100

5.7 Bessel函数的零点 103

5.8 Lambda函数 104

5.9 数表 106

第6章 变型Bessel函数 123

6.1 引言 123

6.2 变型Bessel函数I0（x），I1（x），K0（x）和K1（x）的计算 126

6.3 n阶实宗量In（x）和Kn（x）的计算 128

6.4 复宗量变型Bessel函数In（z）和Kn（z）的计算 128

6.5 任意阶、复宗量变型Bessel函数Iv（z）和Kv（z）的计算 130

6.6 复宗量H？（z）和H？（z）的计算 133

6.7 数表 135

第7章 Bessel函数积分 147

7.1 Bessel函数的简单积分 147

7.2 变型Bessel函数的简单积分 149

7.3 曲线和数表 151

第8章 球Bessel函数 154

8.1 球Bessel函数 154

8.2 Ricatti-Bessel函数及其数学性质 158

8.3 变型球Bessel函数 159

8.4 数表 163

第9章 Kelvin函数 174

9.1 引言 174

9.2 数学性质 177

9.3 渐近展开式 178

9.4 数值计算 180

9.5 Kelvin函数的零点 180

9.6 数表 180

第10章 Airy函数 183

10.1 引言 183

10.2 数值计算 186

10.3 数表 187

第11章 Struve函数 191

11.1 Struve函数 191

11.2 变型Struve函数 195

11.3 数表 199

第12章 超几何函数和合流超几何函数 202

12.1 超几何函数的定义 202

12.2 超几何函数的性质 203

12.3 线性变换公式 204

12.4 超几何函数递推关系式 206

12.5 可表为超几何函数的特殊函数 207

12.6 超几何函数的数值计算 208

12.7 合流超几何函数的定义 208

12.8 合流超几何函数的数学性质 210

12.9 合流超几何函数递推关系式 214

12.10 可表为合流超几何函数的特殊函数 215

12.11 Whittaker函数的定义 216

12.12 合流超几何函数的数值计算 217

12.13 数表 219

第13章 抛物柱函数 232

13.1 引言 232

13.2 抛物柱函数的定义 234

13.3 主要数学性质 239

13.4 级数展开式和渐近展开式 240

13.5 数值计算 242

13.6 数表 244

第14章 Mathieu函数 263

14.1 Mathieu函数定义 263

14.2 展开式系数和特征值的确定 264

14.3 特征值的近似计算 268

14.4 ｜q｜＜1时Mathieu函数的展开式 271

14.5 Mathieu函数的数学性质 272

14.6 变型Mathieu函数定义 274

14.7 变型Mathieu函数的数学性质 279

14.8 数值计算 282

14.9 数表 283

第15章 旋转椭球波函数 298

15.1 旋转椭球座标系 298

15.2 椭球座标系中波动方程的解 301

15.3 长旋转椭球角向和径向波函数的定义 302

15.4 展开式系数d？n（c）和特征值λmn（c）的确定 307

15.5 第二类长旋转椭球径向波函数小cξ的计算 311

15.6 扁旋转椭球角向和径向波函数的定义 313

15.7 第二类扁旋转椭球径向波函数小cξ的计算 319

15.8 数值计算 321

15.9 数表 323

第16章 误差函数和Fresnel积分 348

16.1 误差函数引言 348

16.2 误差函数的数值计算 349

16.3 Gauss概率积分 350

16.4 Fresnel引言 350

16.5 Fresnel积分的幂级数和渐近展开式 353

16.6 Fresnel积分的数值计算 354

16.7 Error函数和Fresnel积分的零点 354

16.8 数表 355

第17章 Cosine和Sine积分 362

17.1 引言 362

17.2 级数展开式和渐近展开式 363

17.3 数值计算 364

17.4 数表 365

第18章 椭圆积分和Jacobi椭圆函数 367

18.1 椭圆积分简介 367

18.2 椭圆积分的级数展开式 371

18.3 椭圆积分的数值计算 372

18.4 Jacobi椭圆函数引言 374

18.5 Jacobi椭圆函数的数值计算 377

18.6 数表 378

第19章 指数积分 384

19.1 引言 384

19.2 级数式、渐近式和连分式 385

19.3 有理分式近似式 386

19.4 数值计算 387

19.5 数表 387

第20章 特殊函数计算方法评述 392

附录A 几个特殊微分方程的推导 394

A.1 Helmholtz方程和分离变量法 394

A.2 圆柱座标系（ρ，ψ，z） 395

A.3 椭圆柱座标系 396

A.4 抛物柱座标系 396

A.5 球面座标系 397

A.6 长旋转椭球座标系 398

A.7 扁旋转椭球座标系 398

A.8 抛物座标系 399

附录B 非线性方程的求根法 400

B.1 Newton迭代法 400

B.2 改进的Newton迭代法 400

B.3 弦截法 401

光盘中Fortran源程序清单（文件夹SMF） 402

参考文献 407