群表示论

引言 1

第一章 群表示论的基本概念 6

1 同态映射 6

2 群的线性表示的定义和例 13

3 群的线性表示的结构 25

3.1 子表示 26

3.2 表示的直和 26

3.3 不可约表示，可约表示，完全可约表示 28

3.4 群的线性表示的结构 29

4 Abel群的不可约表示 33

5 非Abel群的不可约表示的一些构造方法 35

5.1 表示的提升与分解 36

5.2 通过群的自同构的挠表示 38

5.3 逆步表示 39

第二章 有限群的不可约表示 41

1 群G的线性表示与群代数K［G］上的左模 41

1.1 群G的线性表示与群代数K［G］的线性表示 43

1.2 环上的模，代数上的模 44

1.3 群G的线性表示与群代数K［G］上的左模 45

2 有限维半单代数的不可约左模 50

2.1 环A到左理想的直和分解，环A到双边理想的直和分解 50

2.2 有限维半单代数的不可约左模 54

3 有限维半单代数的不同构的不可约左模的个数 57

4 有限维单代数的结构，代数闭域上有限维半单代数的不可约左模的维数 63

5 有限群的不等价的不可约表示的个数和次数 70

第三章 群的特征标 74

1 群的特征标的定义和基本性质 74

2 不可约特征标的正交关系及其应用 79

3 不可约复表示的次数满足的条件 92

4 不可约表示在群论中的应用 102

第四章 群的表示的张量积，群的直积的表示 108

1 模的张量积 108

2 群的表示的张量积 124

3 群的直积的表示 127

4 不可约复表示的次数满足的又一条件 131

第五章 诱导表示和诱导特征标 133

1 诱导表示 133

2 诱导特征标 137

3 Frobenius互反律 139

4 诱导特征标不可约的判定 141

5 群的分裂域，M-群 146

5.1 线性空间的基域的扩张，群的分裂域 146

5.2 M-群 148

6 诱导特征标的Brauer定理 152

7 有理特征标的Artin定理 161

8 Frobenius群存在真正规子群的证明 164

第六章 无限群的线性表示 168

1 群的无限维线性表示 168

2 拓扑空间 175

3 拓扑群，紧群 186

3.1 拓扑群 186

3.2 拓扑群的同态、同构 188

3.3 紧群 190

4 拓扑群的线性表示 194

5 紧群上的不变积分 197

6 紧群的线性表示 207

6.1 紧群的表示的完全可约性 207

6.2 正交关系 209

6.3 不可约表示组的完备性，Peter-Weyl定理 213

6.4 SU（2）和SO（3）的不可约复表示 214

7 局部紧交换群的酉特征标群 225

7.1 局部紧群 225

7.2 交换群的酉特征标群的概念 227

7.3 给群G配备拓扑成为拓扑群的方法 227

7.4 局部紧交换群的酉特征标群 230

7.5 局部紧交换群的双酉特征标群 234

7.6 局部紧交换群的商群与子群的酉特征标群 235

7.7 初等群的酉特征标群和双酉特征标群 240

7.8 紧交换群和离散交换群的双酉特征标群 249

7.9 局部紧交换群的双酉特征标群 252

8 局部紧的Hausdorff拓扑群上的Haar测度 255

8.1 测度，可测函数，积分 255

8.2 局部紧的Hausdorff拓扑群上的Haar测度 282

9 局部紧的Hausdorff拓扑群的酉表示（或正交表示） 301

9.1 Hilbert空间的正交分解和连续线性函数 301

9.2 赋范线性空间和Banach空间的有界线性映射 304

9.3 局部紧的Hausdorff拓扑群的酉表示（或正交表示） 313

9.4 赋范线性空间X的双重连续对偶空间X＊＊ 315

9.5 拓扑空间的网 319

9.6 Hilbert空间的紧线性映射的性质 322

9.7 Hilbert空间上有界线性变换的伴随变换 325

9.8 Hilbert空间上紧线性变换的谱和点谱 328

9.9 Hilbert空间上紧自伴随变换的谱定理 335

9.10 Schur引理，拓扑群的酉表示，紧群的酉表示 344

9.11 凸函数和L2-空间 350

9.12 局部紧的Hausdorff拓扑群G上的L2（G） 357

9.13 Peter-weyl定理的证明 361

习题解答或提示 367

参考文献 410

符号说明 412

名词索引（汉英对照） 417