应用数学 理工类

第1章 应用数学绪论 1

1.1 应用数学概述 1

1.1.1 数学的作用与意义 1

1.1.2 应用数学与初等数学的联系与区别 1

1.2 如何学好应用数学 2

复习题一 4

第2章 函数 5

2.1 函数及其性质 5

2.1.1 函数的概念 5

2.1.2 函数的几种特性 8

2.2 初等函数 10

2.2.1 基本初等函数 10

2.2.2 复合函数 11

2.2.3 初等函数的定义 12

2.3 典型例题详解 12

复习题二 14

第3章 极限与连续 15

3.1 极限 15

3.1.1 函数的极限 15

3.1.2 自变量趋于定常数时，函数的极限 17

3.1.3 无穷小量与无穷大量 18

3.1.4 极限的性质 20

3.2 极限的运算 22

3.2.1 极限的四则运算法则 22

3.2.2 两个重要极限 23

3.2.3 无穷小的比较 25

3.3 函数的连续性 27

3.3.1 函数的连续与间断 27

3.3.2 初等函数的连续性 28

3.3.3 闭区间上连续函数的性质 29

3.4 典型例题详解 31

复习题三 33

第4章 导数与微分 35

4.1 导数的概念 35

4.1.1 两个实例 35

4.1.2 导数及其几何意义 36

4.1.3 求导举例 38

4.1.4 可导与连续 40

4.2 求导法则 41

4.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 41

4.2.2 复合函数的求导法则 42

4.2.3 反函数的求导法则 43

4.2.4 基本初等函数的求导公式 44

4.2.5 3个求导方法 45

4.2.6 高阶导数 46

4.3 微分及其在近似计算中的应用 48

4.3.1 两个实例 48

4.3.2 微分的概念 49

4.3.3 可微的充要条件 49

4.3.4 微分的公式与运算法则 50

4.3.5 复合函数的微分 51

4.3.6 微分在近似计算中的应用 52

4.4 典型例题详解 53

复习题四 54

第5章 导数的应用 57

5.1 洛必达法则 57

5.2 拉格朗日中值定理及函数的单调性 60

5.2.1 拉格朗日中值定理 60

5.2.2 函数的单调性 61

5.3 函数的极值与最值 63

5.3.1 函数的极值 63

5.3.2 函数的最值及其应用 66

5.4 曲率 68

5.4.1 曲率的概念 69

5.4.2 曲率的计算 70

5.4.3 曲率圆和曲率半径 70

5.5 函数图形的凹向与拐点 72

5.5.1 曲线的凹向及其判别法 72

5.5.2 曲线的拐点 73

5.5.3 曲线的渐近线 73

5.5.4 作函数图形的一般步骤 74

5.6 典型例题详解 76

复习题五 78

第6章 不定积分 80

6.1 不定积分的概念及性质 80

6.1.1 不定积分的概念 80

6.1.2 不定积分的性质 82

6.1.3 不定积分的基本积分公式 82

6.2 不定积分的积分法 84

6.2.1 换元积分法 84

6.2.2 分部积分法 86

6.3 典型例题详解 88

复习题六 91

第7章 定积分 93

7.1 定积分的概念与性质 93

7.1.1 两个实例 93

7.1.2 定积分的概念 94

7.1.3 定积分的几何意义 95

7.1.4 定积分的性质 96

7.2 变上限的定积分与微积分基本公式 98

7.2.1 变上限的定积分 98

7.2.2 微积分基本公式 99

7.3 定积分的积分法 100

7.3.1 定积分的换元积分法 100

7.3.2 定积分的分部积分法 102

7.4 广义积分 103

7.4.1 无穷区间上的广义积分 103

7.4.2 被积函数有无穷间断点的广义积分 104

7.5 典型例题详解 106

复习题七 107

第8章 定积分的应用 108

8.1 定积分的几何应用 108

8.1.1 定积分应用的微元法 108

8.1.2 用定积分求平面图形的面积 109

8.1.3 用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积 111

8.1.4 用定积分求平面曲线的弧长 111

8.2 定积分的物理应用 113

8.3 典型例题详解 115

复习题八 117

第9章 常微分方程 119

9.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 119

9.1.1 微分方程的基本概念 119

9.1.2 分离变量法 121

9.2 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 123

9.2.1 一阶线性微分方程 123

9.2.2 可降阶的高阶微分方程 125

9.3 二阶常系数线性微分方程 128

9.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质 128

9.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 129

9.4 拉普拉斯变换的概念 132

9.5 拉氏变换的运算性质 134

9.6 拉氏变换的逆变换 137

9.7 拉氏变换及其逆变换的应用 139

9.8 典型例题详解 141

复习题九 143

第10章 向量与空间解析几何 145

10.1 空间直角坐标系与向量的概念 145

10.1.1 空间直角坐标系 145

10.1.2 向量的概念及其运算 146

10.1.3 向量的坐标表达式 148

10.2 向量的点积与叉积 150

10.2.1 两向量的点积 150

10.2.2 两向量的叉积 152

10.3 平面与直线 153

10.3.1 平面方程 153

10.3.2 直线方程 155

10.4 空间曲面与曲线 158

10.4.1 空间曲面的一般概念 158

10.4.2 母线平行于坐标轴的柱面方程 158

10.4.3 二次曲面 159

10.4.4 空间曲线及其在坐标面上的投影 163

10.5 典型例题详解 165

复习题十 167

第11章 多元函数微分学 169

11.1 多元函数的极限与连续 169

11.1.1 多元函数 169

11.1.2 二元函数的极限与连续 171

11.2 偏导数 172

11.2.1 偏导数的概念及其几何意义 173

11.2.2 高阶偏导数 176

11.3 全微分 177

11.3.1 全微分的定义 177

11.3.2 全微分在近似计算中的应用 179

11.4 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用 180

11.4.1 复合函数微分法 181

11.4.2 隐函数的微分法 182

11.4.3 偏导数的几何应用 183

11.5 多元函数的极值与最值 187

11.5.1 多元函数的极值 187

11.5.2 多元函数的最值 189

11.5.3 条件极值 190

11.6 典型例题详解 191

复习题十一 193

第12章 多元函数积分学 196

12.1 二重积分的概念与计算 196

12.1.1 二重积分的概念 196

12.1.2 二重积分的性质 197

12.1.3 在直角坐标系下计算二重积分 198

12.1.4 在极坐标系下计算二重积分 200

12.2 二重积分应用举例 203

12.2.1 平面薄板的质量 203

12.2.2 平面薄板的重心 203

12.3 曲线积分与曲面积分 205

12.3.1 对坐标的曲线积分 205

12.3.2 对坐标的曲面积分 208

12.4 典型例题详解 211

复习题十二 215

第13章 级数 216

13.1 数项级数及其敛散性 216

13.1.1 数项级数的概念及其性质 216

13.1.2 正项级数及其敛散性 219

13.1.3 交错级数及其敛散性 220

13.1.4 绝对收敛和条件收敛 221

13.2 幂级数 223

13.2.1 幂级数的概念 223

13.2.2 幂级数的运算 225

13.2.3 将函数展开成幂级数 226

13.2.4 幂级数的应用 228

13.3 典型例题详解 230

复习题十三 233

第14章 数学软件MATLAB及其应用 235

14.1 MATLAB基础知识 235

14.1.1 MATLAB的安装和启动 235

14.1.2 MATLAB命令窗口的使用 236

14.1.3 MATLAB的运算符 237

14.2 MATLAB的符号计算 238

14.2.1 符号对象的生成 238

14.2.2 符号计算中的基本函数 239

14.2.3 符号计算举例 239

14.3 用MATLAB进行函数运算 244

14.4 用MATLAB求极限 247

14.5 用MATLAB进行求导运算 248

14.6 用MATLAB做导数应用题 249

14.7 用MATLAB做一元函数的积分 252

14.8 用MATLAB解微分方程 253

14.9 用MATLAB做向量运算及空间曲面 255

14.10 用MATLAB求偏导数与多元函数的极值 259

14.11 用MATLAB做多重积分 262

14.12 用MATLAB做级数运算 265

14.13 用MATLAB求拉普拉斯变换 267

复习题十四 269

主要参考文献 270

附录A 初等数学常用公式 271

附录B 常用的基本初等函数的图像和性质 276

附录C 拉普拉斯变换简表 279

附录D 部分练习题答案与提示 280