高等代数

第一章 线性方程组的消元解法 1

§1 数域 1

§2 线性方程组 2

§3 线性方程组的消元解法 9

阅读材料《九章算术》 15

小结 16

第二章 矩阵代数 17

§1 矩阵的运算 17

§2 逆矩阵 23

§3 初等矩阵 25

§4 分块矩阵 30

阅读材料复数的矩阵模型 34

小结 35

第三章 行列式 37

§1 二阶和三阶行列式 37

§2 排列 39

§3 n阶行列式的定义 41

§4 行列式的性质 42

§5 行列式的计算 47

§6 矩阵乘积的行列式 54

§7 矩阵可逆的条件 56

阅读材料数学归纳法 60

小结 61

第四章 n维向量与线性方程组的一般解法 62

§1 n维向量 62

§2 线性组合 64

§3 线言相关性 69

§4 基与维数 74

§5 矩阵的秩 78

§6 线性方程组解的结构 83

阅读材料代数中的几何类比 90

小结 90

第五章 整数与多项式 94

§1 整数的整除性 94

§2 同余式与同余类 98

§3 p元域 101

§4 一元多项式的定义 104

§5 多项式的整除 108

§6 最大公因式 112

§7 因式分解惟一性定理 118

§8 多项式的根函数多项式 123

§9 复数域与实数域上多项式的因式分解 127

§1 0有理数域上的多项式 128

§1 1＊多元多项式 132

阅读材料定理的结构与形式反证法 134

小结 134

§1 二次型 136

第六章 二次型 136

§2 标准形 140

§3 复数域上的二次型的规范形 146

§4 实数域上的二次型的规范形 146

§5 正定二次型 149

小结 155

第七章 线性空间 158

§1 线性空间 158

§2 基与坐标 163

§3 和与直和 168

§4 集合的映射 172

§5 线性空间的同构 175

阅读材料等价关系和集合的分类 177

小结 177

第八章 线性变换 179

§1 线性变换 179

§2 线性变换的矩阵 183

§3 线性变换在不同基下的矩阵 187

§4 特征值与特征向量 189

§5 对角化 195

§6 最小多项式 198

§7 核与象集 201

§8 σ不变子空间 204

阅读材料斐波那契数列 208

小结 210

第九章 ＊线性变换的进一步理论 212

§1 若尔当标准形 212

§2 若尔当标准形的计算 215

§3 哈密顿-凯莱定理的一个证明 218

阅读材料若尔当标准形的应用举例 219

小结 224

第十章 λ矩阵 225

§1 λ矩阵和λ矩阵的初等变换 225

§2 λ矩阵的标准形 227

§3 ＊定理10.2.2的证明 231

§4 ＊哈密顿-凯莱定理的λ矩阵证明 234

§5 初等因子组 235

小结 239

第十一章 欧几里得空间 240

§1 基本概念 240

§2 标准正交基 244

§3 实对称矩阵的对角化 250

§4 正交变换 257

§5 ＊酉空间 258

阅读材料线性最小二乘法 262

小结 266

索引 268

参考文献 275