解析几何

目录 1

第一章 矢量与坐标 1

§1.1 矢量及其线性运算 1

1.1.1 矢量的定义 1

1.1.2 矢量的加法与数乘 2

习题 1.1 6

§1.2 矢量的线性关系与矢量的分解 7

习题 1.2 12

§1.3 空间仿射坐标系与直角坐标系 13

1.3.1 空间坐标系 13

1.3.2 矢量的线性运算在坐标下的表示 15

习题 1.3 18

§1.4 两矢量的内积 19

1.4.1 内积的定义与性质 19

1.4.2 内积的坐标表示 22

习题 1.4 25

§1.5 两矢量的外积 26

习题 1.5 30

§1.6 三矢量的混合积与双重外积 31

1.6.1 三矢量的混合积 31

1.6.2 三矢量的双重外积 33

习题 1.6 36

§1.7 轨迹与方程 36

习题 1.7 44

第二章 空间直线与平面 46

§2.1 空间平面 46

2.1.1 平面的方程 46

2.1.2 两平面的位置关系，点到平面的距离 48

2.1.3 平面束 52

习题 2.1 53

2.2.1 直线的方程 54

§2.2 空间直线 54

2.2.2 空间两直线的关系 57

习题 2.2 59

§2.3 直线与平面的关系，异面直线 60

2.3.1 直线与平面的关系 60

2.3.2 异面直线之间的距离 62

习题 2.3 66

§2.4 空间直角坐标变换公式 67

习题 2.4 74

第三章 常见曲面 76

§3.1 柱面 76

3.1.1 一般柱面 76

3.1.2 直母线平行于坐标轴的柱面 78

习题 3.1 81

3.2.1 锥面 82

§3.2 锥面与旋转曲面 82

3.2.2 旋转曲面 84

习题 3.2 87

§3.3 常见二次曲面 88

3.3.1 椭球面 91

3.3.2 单叶双曲面 92

3.3.3 双叶双曲面 94

3.3.4 椭圆抛物面 96

3.3.5 双曲抛物面 97

3.3.6 二次曲面的分类 98

习题 3.3 104

§3.4 直纹面 105

习题 3.4 113

§3.5 球面与球面几何 114

3.5.1 球面的性质 114

3.5.2 球面三角公式 117

3.5.3 欧拉公式 121

习题 3.5 124

§3.6 曲面的交线，曲面围成的区域 124

习题 3.6 128

第四章 二次曲线的一般理论 129

§4.1 二次曲线与直线的相关位置，二次曲线的切线 130

4.1.1 二次曲线与直线的相关位置 130

4.1.2 二次曲线的切线 131

习题 4.1 134

§4.2 二次曲线的中心与直径 135

4.2.1 二次曲线的中心与渐近线 135

4.2.2 二次曲线的直径 137

习题 4.2 142

§4.3 二次曲线的对称轴 143

4.4.1 平面直角坐标变换 147

习题 4.3 147

§4.4 二次曲线方程的化简与分类 147

4.4.2 二次曲线方程的化简与分类 150

习题 4.4 157

§4.5 二次曲线的不变量 158

习题 4.5 163

§4.6 圆锥曲线 164

习题 4.6 169

第五章 平面上的正交变换与仿射变换 170

§5.1 平面上的正交变换 170

5.1.1 平面上的平移、旋转、反射 170

5.1.2 平面上的正交变换 174

习题 5.1 177

§5.2 平面上的仿射变换 178

5.2.1 仿射变换的定义与性质 178

5.2.2 仿射变换的应用 183

习题 5.2 188

第六章 平面双曲几何 190

§6.1 双曲平面 190

6.1.1 几何原本与非欧几何的发现 190

6.1.2 双曲平面的Klein模型 195

6.1.3 双曲度量 196

习题 6.1 202

§6.2 双曲变换 203

习题 6.2 208

§6.3 双曲三角学 208

6.3.1 双曲三角学 208

6.3.2 罗氏函数 215

习题 6.3 216

§6.4 双曲弧长与面积 217

6.4.1 双曲平面上的几种曲线 217

6.4.2 双曲弧长 218

6.4.3 双曲面积 220

习题6.4 224

§6.5 双曲平面的其他模型 224

6.5.1 Poincaré模型 225

6.5.2 双曲上半平面 228

附录1 行列式与矩阵 231

§1 行列式 231

§2 矩阵 235

习题 240

附录2 交比 243

附录3 解析几何产生的历史 245

§1 实际背景和数学条件 245

§2 Fermat的贡献 246

§3 Descartes的贡献 247

名词索引 252