数学分析 上

第一章 预备知识——实数集与函数 1

1　集合与实数系 1

一、集合 1

二、区间与邻域 2

三、实数及其性质 3

四、一点逻辑知识 4

习题1-1 6

2　绝对值和不等式 7

一、绝对值 7

二、均值不等式和伯努利不等式 8

习题1-2 9

3　有界数集与确界原理 10

一、有界集 10

二、确界原理 11

习题1-3 13

4　函数概念 14

一、映射和函数 14

二、函数的表示法 15

三、函数的四则运算 17

四、复合函数 18

五、反函数 19

六、初等函数 20

习题1-4 20

5　具有某种特性的函数 21

一、有界函数 21

二、单调函数 22

三、奇函数和偶函数 23

四、周期函数 23

习题1-5 24

第二章　极限论 25

1　数列极限的概念 25

一、数列 25

二、数列收敛的定义 27

习题2-1 30

2　收敛数列的性质 31

一、收敛数列的基本性质 31

二、收敛数列的四则运算性质 33

三、子数列 35

习题2-2 35

3　数列收敛的判别准则 36

一、夹逼准则 36

二、单调有界准则 38

三、柯西收敛准则 41

习题2-3 43

4　函数极限概念 44

一、当x→∞时函数的极限 44

二、当x→x0时函数的极限 47

三、单侧极限 50

习题2-4 51

5 函数极限的性质 52

一、函数极限的基本性质 52

二、函数极限的四则运算性质 54

三、复合函数的极限 55

习题2-5 56

6　函数极限存在的条件 57

一、夹逼准则 57

二、海涅定理及柯西收敛准则 58

三、函数的单调有界定理 61

四、两个重要极限 61

习题2-6 63

7　无穷小量与无穷大量 64

一、无穷小量 64

二、无穷小量阶的比较 65

三、无穷大量 68

习题2-7 69

第三章 函数的连续性 71

1　连续函数的概念 71

一、函数在一点的连续性 71

二、间断点及其分类 75

习题3-1 77

2　连续函数的性质 78

一、连续函数的局部性质 78

二、闭区间上连续函数的性质 79

三、反函数的连续性 82

四、初等函数的连续性 83

五、一致连续 84

习题3-2 88

第四章 导数和微分 90

1　导数的概念 90

一、引例 90

二、导数的定义 92

三、导函数 96

四、导数的几何意义 97

习题4-1 98

2　求导的基本法则 100

一、导数的四则运算法则 100

二、反函数的导数 102

三、复合函数的导数 103

四、基本初等函数的求导公式列表 105

习题4-2 106

3　高阶导数 107

一、高阶导数的概念 107

二、两个高阶求导法则 109

习题4-3 110

4　隐函数求导法、由参数方程确定的函数的导数 111

一、隐函数求导法 111

二、由参数方程确定的函数的导数 114

三、由参数方程确定的函数的高阶导数 115

习题4-4 116

5　微分 117

一、微分的概念 117

二、微分的运算法则 119

三、高阶微分简介 121

四、函数的线性近似 122

习题4-5 124

第五章 微分中值定理及其应用 126

1　微分中值定理 126

一、函数的极值和费马定理 126

二、罗尔定理 128

三、拉格朗日中值定理 131

四、柯西中值定理 135

习题5-1 137

2　不定式极限 138

一、0/0型不定式极限 138

二、∞/∞型不定式极限 140

三、其他类型的不定式极限 141

习题5-2 143

3　泰勒公式 144

一、带有各种余项的泰勒公式 145

二、几个常用的麦克劳林公式 148

三、泰勒公式的某些应用 151

习题5-3 153

4　函数的单调性、极值与最值 154

一、单调性的判别法 154

二、函数极值的判别法 155

三、最大值与最小值问题 159

习题5-4 161

5　函数的凸性与拐点 162

一、函数的凸（凹）性 162

二、函数凹凸性的一般定义及应用 165

习题5-5 169

6　函数作图 170

一、曲线的渐近线 170

二、函数作图 171

习题5-6 173

第六章 一元函数积分学 174

1　定积分概念 174

一、问题提出 174

二、定积分的定义 178

习题6-1 180

2　可积准则与可积函数类　定积分的基本性质 181

一、可积的必要条件 181

二、可积函数类 182

三、定积分的基本性质 182

四、积分中值定理 185

五、可积的充要条件 186

六、可积函数类的定理补充证明 191

七、定积分的性质补充证明 194

习题6-2 196

3 牛顿-莱布尼茨公式 198

习题6-3 201

4　不定积分概念与基本积分公式 202

一、原函数与不定积分的概念 202

二、变限积分函数与原函数的存在性 202

三、基本积分表 207

四、线性运算 208

习题6-4 210

5　换元积分法 211

一、不定积分的第一换元积分法（凑微分法） 211

二、不定积分的第二换元积分法 214

三、定积分的换元积分法 217

习题6-5 219

6　分部积分法 221

一、不定积分的分部积分法 221

二、定积分的分部积分法 223

习题6-6 225

7 有理函数和可化为有理函数的积分 227

一、有理函数的不定积分 227

二、三角有理函数的不定积分 231

三、某些无理根式的不定积分 232

习题6-7 234

第七章 定积分的应用 236

1　平面图形的面积 236

一、定积分的“微元法” 236

二、平面图形面积的一般公式 237

三、平面图形面积的极坐标公式 240

习题7-1 242

2　由平行截面面积求体积 243

一、由截面面积函数求体积 243

二、旋转体的体积 245

习题7-2 247

3　平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 248

一、平面曲线的弧长 248

二、旋转体的侧面积 252

习题7-3 255

4　定积分在物理学中的一些应用 255

一、平面曲线的质心 255

二、液体静压力 257

三、引力 258

四、功与平均功率 259

习题7-4 262

5 定积分的近似计算 263

一、矩形公式 263

二、梯形公式 265

三、辛普森公式 266

四、误差估计定理 268

第八章 反常积分 269

1　反常积分的概念 269

一、问题的提出 269

二、两类反常积分的定义 271

习题8-1 274

2　反常积分的性质与收敛判别准则 275

一、无穷积分的性质 275

二、比较判别法 277

三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 280

习题8-2 282

3　瑕积分的性质与收敛判别 283

习题8-3 286

第九章 实数的完备性 287

1　关于实数集完备性的基本定理 287

一、区间套定理 288

二、聚点定理与致密性定理 288

三、柯西收敛准则 290

四、有限覆盖定理 292

习题9-1 294

2　闭区间上连续函数的性质 295

一、连续函数的基本性质的证明 295

二、用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧 297

习题9-2 299

习题答案 300

参考文献 317